Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
с коэффициентами перехода yh /= 1,..., п.
На этом мы заканчиваем общее исследование обратной задачи для случая
конечной плотности по методу Гельфанда - Левитана - Марченко. Полученные
результаты могут служить доказательством утверждений I-V в методе задачи
Римана из Дредыдущего параграфа. Именно, по исходным данным {Ьр(^.),
bP(X)-, Xj, у,} задачи Римана, удовлетворяющим условиям 1) -
5) из § 6, построим набор данных {гр (г), rp (z); zh cjt с,} в методе
Гельфанда - Левитана - Марченко. Они удовлетворяют условиям 1-3 этого
параграфа, и поэтому результаты по поводу двух специальных задач
сопряжения обеспечивают справедливость утверждений I - V в § 6.
156
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
В следующем параграфе мы рассмотрим важный частный случай обратной
задачи, когда коэффициент b"(z) (а вместе с ним и гр(г), Рр(г))
тождественно исчезает и соответствующие уравнения Гельфанда - Левитана -
Марченко сводятся к системам линейных алгебраических уравнений и решаются
явно. Этот случай отвечает солитонам модели НШ для граничных условий
конечной плотности.
§ 8. Солитонные решения для случая конечной плотности
Как и в быстроубывающем случае, солитонные решения связаны с
безотражательной линейной задачей, т. е. с функциями ф(х), ф(х), для
которых коэффициент ЬР(Х) тождественно исчезает.
Условия на исходные данные в этом случае значительно упрощаются. Именно,
набор чисел с,-, cjy/= 1,..., п) обладает следующими свойствами.
1. Числа Kj лежат в лакуне -со<Са^<;со и среди них нет совпадающих.
2. Величины m.j = Cj/Zj, где
21 = ^1i Yu? - Ц, |z/| = co, (8.1)
вещественны и удовлетворяют неравенству
т}<0, /= 1, (8.2)
3. Выполняется условие (0)
п z
е<-0 = U -L . (8.3)
• гг
i=i I
4. Имеет место формула связи
CjCj = -;- ---, / = 1, .... п, (8.4)
Яр ("/)
где
ар (z) = ei9/2 ]\ --, (8.5)
/=1 г-г/
а точка означает производную по z.
В терминах величин m}=Cj/Zj неравенство (8.2) принимает ВИД WjX), /=
1,..., п.
Отметим, что в безотражательном случае функция ар(г) регулярна при z = ±
со, так что эти значения являются виртуальными уровнями;
§ 8. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ 157
Связь набора чисел {A,j, ch с}} с исходными данными задачи
Римана Yj} осуществляется на основании соотношения
Yj=cjflp(2j), / = 1,...,л. (8.6)
Благодаря свойствам (8.2) - (8.3) и формуле (8.5) числа - чисто мнимые и
sign iy} = sign = гг, j=l,...,n. (8.7)
I
Приступим к решению обратной задачи и рассмотрим сначала случай /г = 1. В
силу условия (8.3) собственное значение явно выражается через параметр 0
и имеет вид
^ = - со cos. (8.8)
Действительно, условие (0) дает выражение
Zj = - сое-^2, О^0<2л, (8.9)
откуда (8.8) следует из (8.1).
Уравнение Гельфанда - Левитана - Марченко для левого конца имеет вид
X
l\(x, y) + Q(x + y) + J T_(x,s)Q(s + y)ds = 0, (8.10)
- оо
где у^х, а ядро П(лг) дается формулами (7.45) - (7.47) и в нашем случае
записывается в виде
й (х) =-¦= M,N\ (8.11)
Здесь
= - ^ = V со2- X'i > 0, (8.12)
а столбцы Mi и Ni выглядят следующим образом:
= (8-13)
где берется арифметическое значение квадратного корня. Здесь Для
единообразия с последующими формулами для случая л>1 мы использовали
переменную ги а не 0.
Таким образом, ядро Q,(x+y) интегрального уравнения
(8.10) является одномерным и это уравнение решается явно. Представляя
матрицу Т^(х,у) в виде
T_(x,y) = fAx)Nle^\ (8.14)
158 ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
для столбца fi(x) получаем линейное алгебраическое уравнение
fl(x)+Mle'^2+A(x)fl(x) =0, (8.15)
где функция А (х) имеет вид
X ^
A (x) = Nx1Ml j' eViS ds = eX (8.16)
-oo
Отсюда для[1(х) имеем выражение
f1(x) =------------------------------------(8.17)
,1V \+A{x) 1
Вычисляя функцию ф(х) по общим формулам (7.49) и (7.54), получаем
4 (х) = р ^ + e'V'1-) (8.18)
iYl +
где мы использовали (8.6) и связь (8.9) между zt и 0. Напомним
также, что в силу (8.7) i^X), так что знаменатель в
формуле (8.18) не исчезает и функция ф(х) регулярна на всей
ве-
щественной оси. Она удовлетворяет граничным условиям конечной плотности
lim ф(х) = р, lim ф(х) = ре'в (8.19)
X-*-оо Х^Ч-оо
с экспоненциальной точностью 0(e_ViW).
Решение ф(х, /) уравнения НШ, для которого функция ф(х) играет роль
начальных данных, получается по общим формулам (6.51) заменой в (8.18)
коэффициента на "0(0:
yi(t)=e^v^yi (8.20)
и может быть записано в виде
,,)=Р' +/^Хг-~):)! ¦ <а21)
1 + exp (Vi (х - vt - jr0)}
где
v = 'k,=- cocos-, х0 = - lni'Yi. (8.22)
2 Vi
Формула (8.21) показывает, что решение ф(х, t) представляет собой волну,
распространяющуюся со скоростью v. Из представления
|ф(*.0|2 = Р2-:--------------------------- (8-23)
со2 ch2 (х - vt - х0) 1 следует, что эта волна локализована в окрестности
x = x"-\-vt.
s d. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ
159
По построению это решение имеет конечную энергию и конечные значения всех
остальных интегралов движения. Согласно определению, данному в § 5,
решение ф(х, /) является соли-тоном в широком смысле для модели НШ в
