Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
где
v/ .. л , 1
W (*> t)=-?-(x - Vjt) + j In mf, j = 1, ..., n, (8.46)
и преобразуем по очереди числитель и знаменатель формулы
(8.33).
Начнем со знаменателя. Имеем очевидную формулу
det (/ + А (х, 0) - 1 + 2 х
i=i
х 2 А (Л. .... //) ехр2 (С/, (х, 0+ ... + С/1 (х, 0), (8.47)
lsS/i <-<//
где A(/i,...,/,)-главный минор I-го порядка п~Хп матрицы
Г 1 1
(8.48)
образованный ее строками и столбцами с номерами /±,..., j,. Для
вычисления коэффициентов Aвоспользуемся извест-
§ 8. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ
163
НОЙ формулой 1
1
fli + bi ai + bn \ тт ТТ
det | ... . . . 1= И (at - aj)(b{ - bj) (+ \
1
1
Van + bl an + bn'
откуда получаем, что
A 0'i. = TT (zia~ г/р)'1 IT
p-1 1<Р<Я<1
При x-Vjt = const имеем
z, - Z. Ip !q
lfm y(x, t) = - oo, ;>/, lim h{x, 0 = + 00. l<i,
t-^-30
(8.49)
(8.50)
(8.51)
(8.52)
поэтому, используя (8.47), на траектории С} при t-*-ос получаем
асимптотику
det (I + А (*))'= (гсо)/-1 ехр 2 (?г (х, t) + ... thl (х, t)) х' х (гсоА
(1, ...,/) ехр 21,- (х, t) -f A (1, ...,/- 1) + О (е-%1'1)). (8.53)
Рассмотрим теперь числитель в формуле (8.33). Аналогично
(8.47) имеем представление
л+1
det (/ + (х, 0) = S
/=2
х 2 Ai (/i. • • •. //-О ехр2 (S/ж (х> + ... + &//_! (х, о).
(8.54)
где Д4 (ju ..., /,_i) - главный минор порядка I матрицы
01 =
1
Zi
D . . .
1
zn
^1 ... 1 о .
(8.55)
образованный строками и столбцами с номерами /i,..., /г-i и л+1.
164
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
Для вычисления коэффициентов Ai (/i,.. /г-1) используем искусственный
прием и рассмотрим матрицу
Г 1
Di(2) =
D
1
(г~г1
По общей формуле (8.49) имеем
det D
det Dj (г) ¦¦
г .' г, /=1 /
г-г,.
г~г/
(8.56)
(8.57)
С другой стороны, разложив определитель матрицы ДДг) по последней строке
и переходя к пределу при z->-oo, получим
lim 2 detDj (z) = detD + detD1. (8.58)
Сравнивая эти формулы, приходим к выражению detDj - [ Г[ 1 jdetD.
(8.59)
Главные миноры матрицы Dt рассматриваются аналогично. В результате
получаем окончательное выражение
Ai (/i. • • •. ji-i) = (е
1) A (/i, ..., //-i), (8.60)
где
e'9/ =z//2/, /=1, (8.61)
Аналогично (8.53) на траектории С, при -оо имеем асимп-
тотику
det (/ + Д (х, t)) = (ко)7-1 exp 2 (^ (х, /)+... + thl (х, /)) х х (icoAj
(1, ..., /) exp 2lj (х, t) + А, (1, ..., / - 1) + О (e-"W)). (8.62)
Подставим полученные асимптотики (8.53) и (8.62) в выражение (8.33) для
ф(х, t). Используя формулы (8.46), (8.50) и (8.61), на траектории С}
получаем следующую асимптотику:
где
§ 8. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ
Ы
ctj ': г'сот
А (1, . . I)
А (1,
7-1)
СО Cj
2Vi /-1
и
zl - zi
165
(8.64)
Преобразуем последнее выражение. Используя формулы (8.5) -(8.6), имеем
" 2;
(?>Cj
2vizi
где
Z; =
2 W р (г/)
'Y;
<0 П - ?
тт h________________±
1=г\г1~г!
Заметим, что в силу (8.7) величина Z, вещественна и
sign Zj - gj.
Поэтому
/=i,
W
так что выражение (8,64) принимает вид
"И 1_______
zi - г/
где
:7/ П
i=i+i
^ 1 1 /-1 • II Z, - Zj
zi - г/ i=i zi - zi
(8.65)
(8.66)
(8.67)
(8.68)
(8.69)
(8.70)
Поставим выражение для a{f} в формулу (8.63) и воспользуемся равенством
г, = vl + i\-l. Мы получим окончательно, что на траектории С} при t->-оо
справедлива асимптотика
ф (X, t) = ф9. ^ - Vjt + Х{7,) + о (<?-'¦*!). (8.71)
Поведение решения ф(х, t) на траекториях общего вида исследуется
аналогично и описывается при t->-оо асимптотикой
ф (х, t) = e'(e,+'"+9/)p + О (е-те1'1) (8.72)
в области Vj>v>vj+l. Доказательство формулы (8.37) на этом заканчивается.
Случай t ^ h оо исследуется аналогично.
Отметим, что приведенные рассуждения доказывают и упомянутое выше
утверждение о том, что функция ф(я, t) принима-ет свои граничные значения
при ,v->±oo с точностью 0(e~vUl).
Итак, мы показали, что исследованное решение ф(х, t) описывает
взаимодействие п солитонов. При t-+-±°° солитоны ста-
166
ГЛ. II, ЗАДАЧА РИМАНА
новятся свободными и далеко расходятся друг от друга. Поэтому, как и в
быстроубывающем случае, решение if (a, t) будем называть п-солитонным.
Специфика нашего случая состоит в том, что решение ty(x,t) "распадается"
на солитоны if/±)(лг, /) с разными значениями фаз 6j. Эти фазы связаны со
скоростями и,- асимптотических солитонов и поэтому различны. Можно
сказать, что взаимодействуют солитоны только с разными значениями фаз.
Поэтому динамику солитонов естественно рассматривать в расширенном
фазовом пространстве "#р= (J ^р.в, которое уже упоминалось в
§ 1.1. На соотношение
П
0=г 2 6/(m°d2n) (8.73)
/=1
в этом случае можно смотреть как на закон сохранения.
Как и в быстроубывающем случае, формулы (8.37) - (8.42) допускают
наглядную интерпретацию в терминах теории рассеяния. Именно, n-солитонное
решение описывает процесс рассеяния п солитонов. При /->±оо мы имеем дело
со свободным движением п пространственно разделенных солитонов с
параметрами (а,, х(ер). При этом при /-*-оо центры инерции солитонов х{-)
+Vjt упорядочены слева направо в порядке убывания скоростей; при /->+оо
