Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
где функции ij)±(x) имеют асимптотики
lim i|'_(jt) = p, lim i]'+ (x) = e'°P. p = -^r , (7.551
U:}(x) = U^(x) = U0(x),
(7.56)
146
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
Рассмотрим, для определенности, уравнение (7.44) и запишем его в
операторном виде
(1 + П,)Г"=-Q" (7.57)
где Тх(у) = Т~(х,у) и Qx(y) =?1(х + у) - элементы из
пространства (-оо,х), Q* - интегральный оператор с
ядром
fi(s + i/):
(Qxf)(y) = f (s)Q(s + y)ds, (7.58)
- зо
а переменная л: играет роль параметра. Чтобы не загромождать обозначения,
мы опустили индексы - н ~ у объектов, входящих в уравнение (7.57).
Ядро ?2(s) представляет собой функцию типа Шварца при s->-оо, поэтому
оператор iix является компактным в 2хц ^-оо, х) и исчезает по норме при
х->-оо (сравни с § 4). Тем самым для однозначной разрешимости уравнения
(7.57) достаточно показать, что однородное уравнение
f + S2J= 0 (7.59)
имеет только тривиальное решение в пространстве L['x'2) (-оо,х).
Для доказательства рассмотрим сначала это уравнение в гильбертовом
пространстве /Д'х'2'(-оо,х) квадратично-интегри-руемых 2X2 матриц-функций
со скалярным произведением
</. S) = J tr f (s) g* (s) ds, (7.60)
- no
где * означает эрмитово сопряжение. Оператор задается в этом пространстве
той же формулой (7.58) и является компактным. Используя свойства ядра
Q(s), легко убедиться, что решение уравнения (7.59) из пространства
L[!x'2) (-оо,х) принадлежит также и L12Х2) (-оо,х). Поэтому достаточно
показать, что уравнение (7.59) не имеет нетривиальных решений в
пространстве Ц2Х2) (-оо,х). На самом деле мы докажем более сильное
утверждение - покажем, что оператор I-f-fi* положительно определен в
пространстве Z,!fX5) (-°о,х).
Предположим сначала, что дискретный спектр отсутствует. Тогда оператор Q*
можно рассматривать как сужение оператора S2 в пространстве LfX2) (-оо,
оо), задаваемого формулой
№(S)= J f (s') fi (s + s')ds'
-oo
(7.61)
§ 7. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 147
Именно, следует вложить пространство L-{X2)(-оо, х) в li'X2) (-оо, оо),
продолжая элементы f(s) из Ь^'Х2) (-°°,х) ну-
лем при sZ^x. Мы покажем, что положительно определенным является оператор
14-й и, следовательно, оператор 1 + й*.
Представление (7.45) - (7.47) для ядра й(х) в нашем случае записывается в
виде
Участвующая здесь матрица Ер(х, z) удовлетворяет соотношениям
где г и г' из (т. е. |z|, \z'\Z^a). Они имеют смысл соотношений полноты и
ортогональности для собственных функций
ределяет асимптотику дифференциального оператора S вспомогательной
линейной задачей (см. § 1.9) при х->-оо.
Доказательство равенства (7.64) использует формулы (7.29) - (7.30) и
инволюцию P/z, переводящую в лакуну -co^z^co. Равенство (7.65) следует из
обычного представления 6-функции в виде интеграла от экспонент и формулы
замены переменной
где cp(zi)=0. При этом существенно условие, что г и г' лежат в RM. Если
же z лежит в Кш, аг'-в лакуне (-со, со), то вместо
(7.65) имеем соотношение
со
Q (х) = - \ Е0 (х, z) R (z) dz, 8л J
(7.62)
где
(7.63)
(7.64)
сс
(7.65)
-оо
б (ф (г)) = у,
6(г - г,),
(Е66)
со
- <\E*p(x,z)Ep(x,z')dx = - ts(z'--)o2. (7.67)
8л ,] г \ г /
- ОО
14й ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
Формулу (7.64) можно интерпретировать как условие изо-метричности
оператора Ер, действующего из пространства Li2 Х2) (-оо, оо) в /i2*'1 (R
ш) по формуле
ОО
(Ерf) (Z) =f(z)= \ f (х) Ер (х, z) dx. (7.68)
/8л J
-СЮ
Сопряженный оператор Ер задается формулой
(Elf)(x) = f(x)=>-pL^ j* f (z) El (x, z) dz (7.69)
и вследствие (7.65) также изометричен, так что мы имеем
E;Ep = I, ЕрЕр = I. (7.70)
Покажем теперь, что оператор
. Q = EpQE;, (7.71)
подобный оператору Q и действующий в пространстве
1"<,Х2) (Кш), является оператором умножения на матрицу-функ-
цию:
(hf)(z) = f(z)R(z). (7.72)
Для этого рассмотрим ядро Q(z,z') оператора Q как обобщенную функцию
с" оо оо
& (Z, Z') = J ^ ?р (у, г') Ер (х + у, z") R
(г") Ер (х, г) dx dy dz",
- ЭО - 30 -СО
(7.73)
где использовано представление (7.62) для ядра П(л:). Переменные х и у в
Ep(x+y,z") разделяются:
Ep(x + y,z") = Ep(y,z")E у(г" - , (7.74)
после чего интеграл по у берется с помощью формул (7.65) и (7.67). В
результате возникает 6-функция, снимающая интегрирование по z", и мы
получаем
й(г-г')=8тП?Д К2'-/))*"+
-зо
+ -f огЕ\ -1 (V - ) R ^ J Ер (х, z) dx. (7.751
§ 7. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 149
Теперь воспользуемся инволюцией
r(^Pj=o,R(z)o2 (7.76)
(см. (7.15)) и пронесем диагональную матрицу Е(х,-) направо через
антидиагональные матрицы R(-) и а2. В результате получим
fi<2-2')=8T.f К(г'>
- оо
+ fo2E(x,Uz'
Щ2
г'
Ер (х, z) dx -
= - \ R (г') Е'р (х, z') Ер (х, z)dx = iS{z - z') R (г), (7.77)
8л .)
- ОО
что и доказывает формулу (7.72).
Положительная определенность оператора I + Q (и тем самым 1 + Я*) следует
из положительной определенности матрицы
/ + Я(г)=(1 'p(Z)V (7.78)
VrP<z> 1 J
которая обеспечивается условием
|rp(z)|<l (7.79)
ДЛЯ j 2Г | > со (см. свойство 3) и формулу (7.50)).
