Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
умножим обе части получившегося соотношения на функцию е(у/4, z), у^х, и
проинтегрируем его по z от -оо до оо (сравни с действиями в § 4).
Вычислим возникающие при этом интегралы.
Рассмотрим сначала левую часть, обозначив ее через L.
Из асимптотик (7.10) - (7.11) следует, что вектор-функция
(Fi(x, z)-&р{х, z))e(x/4, z) регулярна при z = 0 и при |z|->oo имеет
порядок 0(l/|z|). .Поэтому, используя (7.8) н лемму Жордана, заключаем,
что
" / \
L = 2 Ш cjlf (х, Zj) е(~, г/j . (7.28)
/=1
Рассмотрим правую часть, обозначив ее через R. Здесь мы
00 сс
встречаемся с интегралами J е(х, z)dz и J е (х, z)-, пони-
-со -оо
маемыми в смысле обобщенных функций. Имеем
оо./ Ш2\ 0 . / ?02 \
л t г х ^ г I z х
е (х, г) dz= \ е ^ / dz + I е ^ 2 ' dz
=
о
оо . / ?02 \ оо
= j е С г ) Х ( 1 + dz = j e^dp = 2nd (х), (7.29)
О
где во втором интеграле в первом равенстве мы совершили за-мену
переменной -or/z. Аналогичным образом доказыва-
ется, что
ОО оо
[е(х, z)^ = 0, ^е(х, z)^=--2-^t(x). (7.30)
J Z J Z2 Ш2
-ОО -00
С помощью этих формул получаем R = 8яе-' в/ (г+ (х, у) ( М + (j (Х + У) )
где
%{х)=й РиДЛ
- со
Г(г)
ло /¦ j х
'".4
0 l Г + (х, s) (^(s+^)ds) ,
) ДР + И/ J
(7.31)
dz У Z (7.32)
:W (7.33)
§ 7. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 143
Используя теперь равенство L = R и представление (7.24), получаем
уравнение
г'(х'й W+{%+Л)+J г-(*'51 <7'34)
где у^гх и
,7'35)
Вспоминая инволюции (1.8.26) - (1.8.27)
Г±(х, у) = а1Г^(х,у)а1, (7.36)
мы можем записать уравнение (7.34) в матричном виде
оо
Г+ (лг, у) + й (х + у)+ Г+ (х, s) й (s + у) ds = 0, (7.37)
лг
где у^х и
Q(*) = (?(*) 4W ) . (7.38)
U W Е (х) )
Здесь мы учли, что в силу инволюции (7.15) и условия положительности
функция ?,(х) вещественнозначна
Соотношение (7.37) представляет собой интегральное уравнение для матрицы
Г+(х, у) и называется уравнением Гельфанда- Левитана - Марченко для
правого конца. Отметим, что по форме оно вполне аналогично уравнению
Гельфанда - Левитана- Марченко для быстроубывающего случая из § 4. Однако
матрица й(х) здесь не антидиагональна, а имеет диагональную часть,
пропорциональную единичной матрице.
Матрица U0(x), участвующая во вспомогательной линейной задаче
- (*Д)= (~ + ^о(х))т±(х,Х), (7.39)
dx \. 2i J
выражается через решение Г±(х, у) по формуле (1.8.17)
U0(x) = U^ + o3Г+.(а-, х)о3-Г+(х, х), (7.40)
где
U+=QT1(B)U_Q(Q), U_=^ax. (7.41)
Аналогичным образом, рассматривая вытекающее из (7.1) соотношение
-1- Т(? (х, г) = гр (г) Д1' (х, г) + Т12) (х, г), (7.42)
ао <z)
144
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
где
~ bJz)
г-<г> = -^Г' (7'43)
и интерпретируя его как соответствующую задачу сопряжения, приходим к
уравнению Гельфанд а - Левитана - Марченко для левого конца
X
г_ (X, у) + 9.(х + у) + ^ Г_ (х, s)Q(s + у) ds - О, у^х. (7.44)
- со
Здесь ядро Q(x) имеет вид
Q(*).= (EW 5W), (7.45)
Ww sW/
где
5 w=fj(г) e (- т •г) f + f 2 iг (- Т'z') (7-46)
-оо /^1
и
11
^(*) = -!- j r"{z) е J, z"j dz + -1-2 Ле[- 7"г/) > (7-47)
с/==-" /=1,...,гг. (7.48)
7/аР (г/)
В формуле (7.45) уже учтено, что в силу инволюции (7.15) и условия
положительности функция g(x) вещественнозначна.
Матрица U0(x) выражается через решение Т-(х,у) по формуле (1.8.17):
U0(x) = LL + Г- (х, х) -ц3Г_(х, х) а3. (7.49)
Интегральные уравнения (7.37) и (7.44) составляют основу решения обратной
задачи для случая конечной плотности по методу Гельфанда - Левитана -
Марченко. Будем считать, что заданы функции г"(z), r9(z) и набор чисел
z,-, си сг и 0, 0^0<2я, удовлетворяющие следующим свойствам.
1. Набор {rp(z), z}, Cj, /=1, ..., п} удовлетворяет условиям
D-5).
2. Функции r9(z) и r9(z) связаны соотношением
Ml = ,7.50)
Г" И "Р и
§ 7. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
145
где
( 1 г In (1 -1 гр (s) |")
ds\ . (7.51)
7 I
2ni J z -s + ?0
-CO
3. Коэффициенты Cj и с,- удовлетворяют равенству
(7.52)
Тогда утверждается следующее.
I. Уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко (7.37) и
(7.44) однозначно разрешимы в пространствах Ь^Х2)(х, оо) и
ются, соответственно, функциями типа Шварца при х, у-*-± оо.
II. Построенные по Г±(х,у) по формулам, (7.24) - (7.25) матрицы T±(x,z)
удовлетворяют дифференциальным уравнениям
где матрицы Up' (х) и U(0 }(x) даются, соответственно, правыми частями
формул (7.40) и (7.49).
III. Матрицы и\г] (х) представляются в виде
причем граничные значения принимаются в смысле Шварца.
IV. Имеет место равенство
так что матрица U0(x) удовлетворяет граничным условиям конечной
плотности.
V. Коэффициенты перехода непрерывного спектра вспомогательной линейной
задачи с матрицей U0(x) даются функциями Яр(А) =ap(z(A)) w bp(X) = ар(Х)
rp(z(X)), а дискретный спектр состоит из набора собственных значений Х3,
-со С<С со, с коэффициентами перехода yi=cjap(z]-), }= 1,..п.
Докажем эти утверждения.
I. Однозначная разрешимость уравнений Гельфанда - Левитана - Марченко.
П{,<2) (-оо, х). При этом их решения - матрицы Г±(дг, у) явля-
dT± (х, z) ______ (I (г) а3
dx
(7.54)
