Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
уравнению (7.59). Вследствие доказанной теоремы единственности получаем,
что
ф(х,у)=0 (7.102)
при всех х, у, у^х; это и доказывает справедливость уравнения
(7.92).
Уравнение для матрицы Г+(х, у) доказывается аналогично.
III. Поведение матриц U[±] (х) при х^>-±оо.
Представления (7.40) и (7.49) показывают, что матрицы
U[±](x) антидиагональны, а инволюция (7.91) обеспечивает их специальный
вид (7.54).
Исследование асимптотик ненулевых матричных элементов матриц U^^x)
основано на следующем соображении. Нормы операторов Qx и Q* исчезают
соответственно при х->- + оо и -оо, поэтому при таких х к интегральным
уравнениям (7.37) и (7.44) применим метод последовательных приближений.
Каждая итерация является функцией типа Шварца при х, #->-±оо, и этим
свойством обладают и решения Г±(х,у). В частности, матрицы Г±(х, х)
являются функциями типа Шварца при х->±оо. Отсюда следует требуемое
поведение функций ф±(х) при х^>-±оо.
Заметим также, что указанные свойства ядер Г±(х, у) приводят к следующим
асимптотикам для решений T+(x,z) при вещественных г:
T_(x,z) =Ep(x,z)+о( 1) (7.103)
при х^>-оо и
T+(x,z)=Q~i(Q)Ep(x,z) +о(1) (7.104)
при х-*-+ оо.
IV. Формула согласования Ui+) (х)- Ui~) (х).
Для ее доказательства достаточно показать, что матрицы Т+(х, г) и 7_(х,
г) линейно зависимы, т. е. отличаются правым матричным множителем, не
зависящим от х. Действительно, если это свойство имеет место, то матрицы
T±(x,z) удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению и, тем
самым, матрицы ?/0+) (х) и ?/(0-'(х) совпадают как коэффициенты в
уравнениях (7.53).
Мы покажем, что при вещественных z имеет место формула (7.1) с матрицей
Tp(z) вида
(n (у\ h (у\\
(7.105)
гДе функция flp(z) дается формулой (7.51), а
Mz) =ap(z)rp(z). (7.106)
154
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
Для вывода заметим, что доказанная однозначная разрешимость интегральных
уравнений (7.37) и (7.44) эквивалентна теореме существования и
единственности для двух специальных задач сопряжения
Fx (х, г) = Т(+1) (х, г) + гр (г) 7f (х, г) (7.107)
и
F2 (х, г) = 7Р (г) ГУ (х, г) + ТL:) (х, г), (7.108)
точная формулировка которых была дана выше. При этом дан-
ные двух задач {rp(z), zh Cj} и {rp(z), zh с3} связаны условиями 1-3.
Отправляясь от этих соотношений, мы покажем, что
Fx (х, г) = -Т{- (х, г), F2 (х, г) = -!- Г(+' (х, г), (7.109)
ар (z) ар (Z)
что п эквивалентно искомой формуле (7.1).
Для доказательства умножим равенство (7.107) на r"(z)\
Гр (2) Fx (х, г) = Гр (2) Г'1" (х, г) + | гр (г) |* Т(;} (х, г), (7.110)
а также перепишем его с помощью инволюции (7.14),
ах Тх (х, г) =7Р (г) 71° (х, г) + rf (*, г). (7.111)
Вычитая равенства (7.110) и (7.111) и используя (7.18), получаем, что
rp{z)Fx(x,z) - oxFx{x, z) =------------l--T+)(x,z). (7.112)
I % (z) I2
Воспользуемся теперь условием 2 - формулой (7.50)-п перепишем полученное
равенство в виде
-у- Т? (х, г) = гр (г) ар (г) Fx (х, г) + ах ар (г)Тг (х, г). (7.113)
"Р (z)
Таким образом, мы преобразовали задачу сопряжения (7.107) к задаче
сопряжения типа (7.108) и намерены воспользоваться теперь теоремой
единственности. Для этого достаточно показать, что вектор-функции
ap(z)Fl(x, z) и --- (х, г)
"Р (z)
удовлетворяют условиям постановки задачи сопряжения (7.108).
Рассмотрим сначала столбец ap(z)Ft(x, z). Он аналитически продолжается в
верхнюю полуплоскость переменной z и имеет те же асимптотики при z-й) и
|z|-"-oo, что и столбец Т-](х, г). При этом в случае общего положения
ар (г) = - h 0(1), а±ФО, (7.114)
г 2р СО
§ 7. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
155
столбец ap(z)Fl(x,z) регулярен при z = ±со. Действительно, в силу
свойства rp(±co)=:FJ (см. условие 3)) и соотношения
Т(+] (х, ± со) = ± i7f > (х, ± со) (7.115)
мы имеем
Ft(x,z) =0( |z=Fto|) (7.116)
в окрестности z=±co. В свою очередь формула (7.115) получается, в силу
дифференциального уравнения (7.53) и асимптотики (7.104), из аналогичного
свойства столбцов матрицы Q-1 (0)ЕР(х, ±<г>).
Далее, столбец ---Г+' (x,z), как и столбец F2{x,z), ана-
"р(2)
литически продолжается в верхнюю полуплоскость, за исключением точек z =
zh / = 1,..., /г, где он имеет простые полюса. При этом благодаря условию
3 - формулам (7.52) и (7.8) - мы имеем
res -l-'F(+ (х, z) |z=z,= ~ ¦- 7'+' (х, z;) = - res F± (х, г)
|г=г .=
ap(z) ' ap(Zj) C/ap(Z/)
= Cj (ap (г) Fx {x, z)) |z==z., / = 1, . .., n. (7.117)
Итак, условия, которым удовлетворяют столбцы
-^-Ti2) (х, z) и ap(z)Fl(x,z), совпадают с условиями на столб-ap (z)
цы F2{x,z) и Т[- (x,z) из задачи сопряжения (7.108). Поэтому
эти столбцы совпадают, т. е. имеют место равенства (7.109).
V. Коэффициенты перехода и дискретный спектр.
Из результатов, доказанных в пунктах I - IV, уже следует, что матрицы
Т±(х, z) являются решениями Йоста для вспомогательной линейной задачи,
построенной по найденной матрице U0(x) =икр) {х) = Ulo)(x). При этом
функции ар(Х) и ЬР(Х) играют роль коэффициентов перехода непрерывного
спектра, а числа Х} являются собственными значениями дискретного спектра
