Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь мы изложим второй способ решения обратной задачи.
В отличие от первого подхода, основанного на задаче Римана об
аналитической факторизации матриц-функций, ои использует специальную
задачу сопряжения аналитических вектор-функ-
ций, вытекающую из формулы связи (6.1) решений Иоста.
В терминах переменной z эта формула записывается в виде
7_(х, z) =Т+(х, z)Tp(z), (7.1)
где Im z = 0 и
Т±(х, z) = T±(x, a(z)), Tp(z)=Tp(l(2)). (7.2)
Инволюции (6.3) - (6.4) выглядят следующим образом:
Т± (х, ^ = А (х, г) о3, (7.3)
Тр(^~) = о3ТР(г)о3. (7.4)
Для формулировки нужной нам задачи сопряжения рассмотрим соотношение
(7.1) для первого столбца П1' (х, z) матрицы Т-(х, z), которое перепишем
в виде
-4т- Т1- (х, г) = Т'+ (х, z) + гр (г) Т(:] (х, г), (7.5)
аР (z)
§ 7. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
139
где введено обозначение
b (z)
r"(z)=-±LL (7,6)
ep(z)
(сравни с § 4).
Вектор-функция Ft(x, z) = -тт^-' (х, z), участвующая в ле-
ар \г'
вой части равенства (7,5), аналитически продолжается в верхнюю
полуплоскость переменной z, за исключением точек z = Zj = Xj+ гфоз2 -
а2., /= 1, , , , , п, где она имеет простые полюса, и точки z = 0, в
которой имеется существенная особенность, В силу соотношения (1.9.22)
Tll>(x,zj) = yjT(;)(x,zi) (7.7)
получаем,что
гт(2) ,
где
res (х, z) \z=Zj= с{Г+'(x, гД (7,8)
cr-=^f-, j - \ ,, n, (7.9)
ap (z/)
а точка означает производную по z.
В окрестности точки z = 0 для Imz^O из формул (1,8.28),
(1.8.33) и (1.9.5) для функции г{(х, z) получаем асимптотику
Fi (х> г) е (д-, zj = j е/0/. j + О (1), (7.10)
где мы использовали обозначение е(х, г), введенное в § 6. 14з формул
(1.8.28), (1.8.32) и (1.9,4) получаем асимптотику при | 2|->оо, 1ш 2^:0
Fl(+0c(T г) = (Л0Л) + О(Ж). (7.11)
Рассмотрим теперь правую часть равенства (7.5), Первое слагаемое в ней -
вектор-функция Т+} (х, z) - аналитически продолжается в нижнюю
полуплоскость переменной z, за исключением точки z = 0, в которой имеется
существенная особенность. Из формул (1,8.30), (1,8,32)-(1,8.33) и (1.9.4)
-(1.9.5) получаем Для Imz^O асимптотики при 2->0
0
.71" (дг, z)e(X,zj = ( _ле"я j +0(1) (7.12)
^Кт'гНеЛ+0(щ)' <7ЛЗ)
V 2
и при | 2 | ->00
Г
140 гл. п- ЗАДАЧА РИМАНА
Столбец 7+' (х, z), участвующий во втором слагаемом, аналитически
продолжается в верхнюю полуплоскость переменной г и связан со столбцом
7+' (х, z) с помощью инволюции (1,8,36)
Т{+ (х, г) = ах 7+' (х, ~z). (7.14)
Соотношение (7.5) вместе со сформулированными условиями аналитичности,
свойствами (7.8), (7,14) и асимптотиками
(7,10) - (7.13) и представляет собой искомую специальную задачу
сопряжения. При этом заданными считаются функция rp (2), определенная на
вещественной оси, и параметры zs, с5, /=1, ...
п. Данные rp(z) и zjt cs не являются независимыми. Они удовлетворяют
следующим условиям, вытекающим из результатов § 1.9.
1) Функция гр (2) принадлежит пространству Шварца и вместе со всеми
производными исчезает при 2=0.
Это следует из аналогичного свойства функции bp(z) (см. интегральное
представление (6.23)).
2) Свойство инволюции
г -)=-Гр(2) (7.15)
(см. (7.4)).
3) Имеет место неравенство
|гр(2)|<1, (7.16)
причем знак равенства может достигаться лишь в точках 2= ±<м, и тогда
гр(±(о)= + 1' (7.17)
- случай общего положения.
Оно следует из соотношения нормировки
I Гр (г) I2 = 1------ = - ' Ьр-{2) '' (7.18)
' PWI K(z)l2 l + l&p(z)l2
и свойства (1.9.11), имеющего место в случае |ар(±а) | =оо.
4) Условие (0)
= Д if. exp Ц- ? -((Z) |2) dz\ . (7.19)
/=1 Z! I П _оо J
Оно представляет собой вариант записи формулы (1.9.44) с использованием
равенства
• I </Д12____ *
§ 7. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
141
Здесь |z,|=(o в силу того, что вещественные числа К, лежат в лакуне (-и,
ш).
5) Условие положительности - величины m,= -c/zj, /= 1,... ... , п,
являются вещественными положительными числами.
Оно следует из равенств
" V/ _ У/ dz (X)
dap (z)
dz
daa (X) dX
Z=Z:
dX
dX (z) 1 / j
dz 2
и соотношения связи (6.26)
dan
sign /у,- = sign -f- (Kj), j n
ah
(7.21)
(7.22)
(7.23)
(cm. § 1.9).
Формулировка задачи сопряжения для случая конечной плотности (так же как
и задачи Римана в § 6) выглядит более громоздко, чем соответствующая
задача для быстроубывающего случая в § 4. Однако, в отличие от задачи
Римана, ее исследование вполне аналогично быстроубывающему случаю и
проводится при помощи сведения ее к системе интегральных уравнений.
Для вывода этой системы воспользуемся интегральными представлениями
(1.8.13) - (1.8.14) для решений йоста
оо
Т+ (х, г) = Q'1 (0) Ер (х, г) + f Г+ (х, у) Q'1 (0) Ер (у, z) dy (7.24)
где
Т_ (х, г) = Ер (х, z) + J Г_ (х, у) Ер (у, z) dy, (7.25)
Сх ( а>г \
Ер (х, г) = Ер (х, К (г)) =
(7.26)
(см. формулу (1.8.9)). Подставим теперь эти представления в
(7.5), вычтем из обеих частей этого равенства первый столбец "¦p(jc, z)
матрицы Q-i(0)?,p(x, z)
( e"i9/3 \
&р (*,*)= I ^е/2 W(-f,z), (7.27)
142
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
