Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
±оо задача Римана упрощается и сводится к задаче, где факторизуемая
матрица не зависит от к. Такая задача уже решается явно в терминах
специальных функций. При этом возникают интересные связи с так
называемыми изомондромными решениями, автомодельными решениями и
уравнениями типа Пенлеве. Эта обширная тематика не разбирается в нашей
книге, и мы можем лишь отослать читателя к оригинальной литературе [2.35-
2.37], [2.41], [2.43-2.45], [2.51-2.52]. Роль изомонодромных решений
задачи Римана в теории солитонов обсуждается в работе [2.14].
7) Формализм интегральных уравнений Гельфанда-Левитана - Марченко был
развит в работах И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [2.3] и В. А. Марченко
[2.19], в которых было дано полное решение обратной задачи для
радиального уравнения Шредингера (оператора Шредингера на полуоси).
Простое изложение этих методов и их связь с подходом М. Г. Крейна [2.15-
2.16] дано в обзоре [2.28]. Уравнение Шредингера на всей оси (одномерный
оператор Шредингера) было рассмотрено в работах И. Кэя и Г. Мозеса [2.46-
2.48]. Полное математическое исследование задачи для потенциалов и(х),
удовлетворяющих условию
было дано в работах [2.27, 2.29]. Там впервые было показано, что следует
использовать оба уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко, и установлена
связь их решений.
Для модели НШ в быстроубывающем случае решение обратной задачи на основе
этого метода было дано в работе [2.6] для е= -1 и в работе [2.25] для
е=1. Отметим также, что обратная задача для радиального оператора Дирака
с ненулевой массой была решена в работе [2.2].
8) Солитонные решения для модели НШ в быстроубывающем случае впервые были
описаны и исследованы в работе [2.6].
9) В § 6 мы уже отмечали технические трудности исследования задачи Римана
для случая конечной плотности, связанные с наличием края у непрерывного
спектра.
В идейном плане похожие осложнения возникают и при исследовании задачи
Римана для одномерного оператора Шредшггера. Роль поверхности Г здесь
играет риманова поверхность функции k=^X; в точке ветвления Я=0 при этом
может возникнуть виртуальный уровень. В этой связи представляет интерес
общая задача о построении аналога теории Гохберга - Крейна для задачи
Римана на произвольной римановой поверхности.
10) Уравнения Гельфанда - Левитана-Марченко для случая конечной
плотности, полученные в § 7, были выведены в работе [2.7] (см. также рэ-
ОО
(9.2)
-ОО
§ 9. КОММЕНТАРИИ 11 ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
169
боты [2.4J, [2.31], [2.39]). Здесь мы исследуем эти уравнения по схеме,
впервые проведенной для одномерного оператора Шредингера в работах [2.27,
2.29.1 (см. также обзор [2.30]). Доказательство однозначной разрешимости
интегральных уравнений (7.37) и (7.44), основанное на положительности
соответствующих операторов, аналогично подходу из комментария 5).
Исследование уравнений Гельфанда - Левитана-Марченко в быстроубывающем
случае может быть проведено по изложенной в § 7 схеме, которая в этом
случае технически упрощается.
И) Мы предполагали в § 7, для простоты изложения, что граничные значения
в случае конечной плотности принимаются в смысле Шварца. В § 1.11
отмечалось, в какой степени эти требования можно ослабить. При этом
условия на коэффициенты а9(к) и Ьр(к) в точках Я=±со следует записывать в
виде
kbp(k) - 6± + o(l), kaf{k) =а± + о(1) (9.3)
при >-0. Тогда изложенный формализм решения обратной задачи проходит и
для этого случая.
Для одномерного оператора Шредингера в прямой и обратной задачах
рассеяния естественным является условие (9.2) на потенциал и(х). Именно
это условие и было использовано в работах [2.27, 2.29]. Однако поведение
коэффициентов перехода на краю непрерывного спектра там было записано
неаккуратно. Это послужило поводом для критики в работе [2.40], после
которой сложилось впечатление, что на функцию и(х) следует накладывать
более сильное условие
ОО
^ (1 + х2) | и (х) | dx с ос. (9.4)
- ОО
Однако, как было показано в монографии [2.20] п в работе [2.18], после
необходимого уточнения поведения коэффициентов перехода при k=0
схема
нз работ [2.27, 2.29] для потенциалов, удовлетворяющих только условию
(9.2), остается в силе.
12) Солитонные решения для случая конечной плотности были изучены в
работе [2.7]. Отметим предложенный там метод исследования взаимодействия
солитонов. Он основан на предположении, что при ?->-±оо многосоли-тоиное
решение ф(х, t) представляется в виде суммы пространственно разделенных
солитонов. Для таких функций ф(х, t), ф(х, t) вспомогательная линейная
задача решается явно и коэффициенты перехода дискретного спектра, а
вместе с ними и параметры х^) , явно вычисляются.
Применительно к быстроубывающему случаю такой способ вычисления изложен в
монографии [2.11].
Способ, избранный нами в § 8, основан на непосредственном исследовании
явных формул (8.33) - (8.36) для многосолитонного решения. Выражение для
определителя матрицы вида (8.49), играющее важную роль при вычислении,
