Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь общий случай, когда присутствует и дискретный спектр.
Для доказательства положительной определенности оператора 1 + Й*
представим его в виде суммы слагаемых, отвечающих непрерывному и
дискретному спектру:
I + Qx =1 + о?> + Qf. (7.80)
Здесь Qf и Qx1-интегральные операторы в пространстве Т42Х2) (-оо, х) с
ядрами fi(c) (s + s') и n(d) (s + s') соответственно,
где
сю
П(с) (s) = j Ер (s, z) R (z) dz, (7.81)
-сю
2сД--г,г/), <7-82>
150
ГЛ. II. ЗАДАЧА PHMAIIA
а эрмитовы 2X2 матрицы С,- имеют вид
т, / со
С/ = -г ' (7-83)
4 \ izf со /
/=.-1, . . ., я. (7.84)
Представление (7.80) следует из формул (7.45) - (7.47) и соотношения
е (s, 2/) = е (s, 2/), (7.85)
очевидного в силу условия |гг| =со.
Мы доказали выше, что оператор I + Q*c> является положительно
определенным в пространстве LfK2) (-Поэтому нам достаточно показать, что
оператор ?2*' неотрицателен. Это, в свою очередь, вытекает из
неотрицательности матриц Су
Действительно, в этом случае для произвольного элемента f(s) из LloJXi)(-
оо, х) имеет место неравенство
(Qff, f) = 2 | f tr / (s) c(f* (s') e (- 7 • z/) e (- Д > z/) ds ds' > °-
1= 1 -
oo oo
(7.86)
В его справедливости проще всего убедиться, приводя каждую матрицу С, к
диагональному виду; при этом каждое слагаемое в (7.86) будет, очевидным
образом, неотрицательно.
Докажем теперь, что матрицы С,- неотрицательно определены. В силу условий
| Zj | = со эти матрицы вырожденны, поэтому нам достаточно показать, что
т3-> 0, /=1,...,л. (7.87)
В справедливости этих неравенств нас убеждают формулы
nijtrij =-------- (7.88)
2)'а р(2/)
и неравенства
-1-------<0, /=1,...,л, (7.89)
z;-"p (z/)
которые следуют из условия положительности, условия (0) и
формул (7.15), (7.51).
На этом доказательство -положительной определенности оператора I + S2*, а
вместе с тем и однозначной разрешимости уравнения (7.44) заканчивается.
§ 7. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 151
В заключение отметим, что в силу доказанной теоремы единственности и
свойства инволюции для ядра Q(x)
Q (х) = 0^2 (х) ст1; (7.90)
такому же свойству удовлетворяет и решение Г (.г-, у):
f (х, у) = о1Т (х, у)о1. (7.91)
Уравнение (7.37) рассматривается аналогичным образом.
II. Вывод дифференциальных уравнений для матриц T±(x,z). Нам достаточно
показать, что матрицы Г±(х, г) удовлетворяют дифференциальным уравнениям
в частных производных
- Г±(а-, у) + а3 Г ± (х, y)a3 - U'f\x)Y±(x,y)+a3T±(x,y)aiSU±=0, дх ду
(7.92)
где
UlB±)(x) = U± =р (Г+ (х, х) - а3Г± (х, х)о3) (7.93)
(см. формулы (1.8.15) - (1.8.17)).
Действительно, эти уравнения в рамках исследования вспомогательной
линейной задачи были получены в § 1.8. Там была указана их
эквивалентность дифференциальным уравнениям
(7.53) для матриц T±(x,z), построенных по Т±(х,у) по формулам (7.24)
- (7.26).
Рассмотрим, для определенности, матрицу Т-(х,у). Продифференцируем
уравнение (7.44) по х и у и сложим получившиеся равенства, умножив
предварительно последнее из них с двух сторон на матрицу ст3. Мы получим,
что
т" Г (-V, у) + о3- Г (х, y)e3-\-?l'(x-\-y)-\-o3Q'(x-\-y) а3+Г(л;,
x)Q(л:+г/) + ах ду
X
+ J (- Г (х, s) ?2 (s + У) +- оД (х, s) ?2' (s-\-y)a3 j ds = 0,
(7.94)
-оо
где штрих обозначает производную по аргументу и для сокращения записи мы
опустили индексы - и ~ у встречающихся объектов.
В этом равенстве участвует матрица ct3Q/(jc)ct3-|-Q/(jc),
пропорциональная единичной матрице. Из представления (7.46) с помощью
инволюции (7.15) и условия положительности получаем, что
4^=7^ (*"' t?-95>
dx 4
152 ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
откуда с помощью (7.45) имеем
Q' (х) + а3Q' (х) o3 = j (а^(х) - a3Q (хУо.^) =Ujl(x)-a3Q(x)a3U_,
(7.96)
где мы учли, что П_ = -^аь Используя это равенство, преобразуем последнее
слагаемое в подынтегральном выражении в (7.94):
X
§ от3Г (Л-, s) И' (s + у) a3ds =
-сю
X X
=- (j сдГ (х, s)a3Q'(s+y)ds+ \' ст3Г (х, s)a3(OJ (S+y)-\-o3Q' (s+y)a3)ds=
= - о3Г (х, х) а3й (х + у)
°3 уг (X, S) а3О (s + y) +
CS
-j- ст3Г (х, s) о3 (U_Q (s + у) - ct3Q (s + у) a3UJ] ds, (7.97)
где мы воспользовались интегрированием по частям. С помощью формул (7.93)
и (7.96) - (7.97) соотношение (7.94) можно переписать следующим образом:
у- Г (х, У)+ а3^-Т (х, у) о3 + И(0_) (х) И (х + у) - дх ду
X
- a.3Q(x+y)o3U_+ | (х, s) +а3-^Г (х, s)a3'jQ(s + у) +
- сю
+ ст3Г (х, s) а3 (UJl (s + у) - a3Q (s у) o3U__)] ds = 0. (7.98)
Преобразуем слагаемые U1^ (х)?1(х + у) и а3й (х + у) a3U^ в левой части
этого равенства, заменив матрицу Q(x + y) на правую часть уравнения
Гельфанда - Левитана - Марченко, записанного в виде
и {х + у) = - Г (х, у) - (j Г (х, s) Q (s + у) ds. (7.99)
~х
Вводя обозначение
ф (х, У) = Г (х, у) + сг3 Г (х, у) о3 - I;(0_) (х) Г (х, у)+ дх ду
+ а3Г (х, у) а3П_, (7.100)
перепишем формулу (7.98) в виде соотношения
Ф
(х, У) + § Ф {х, s) Q(s + y)ds = 0. (7.101)
§ 7. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
153
которое означает, что Ф (х,у) как функция у удовлетворяет однородному
