Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
можно найти в задачнике [2.26].
13) В тексте книги мы педантично употребляли обозначения ф(л:), ф(х) (а
также b (Я), 5(Я)), хотя эти пары функций и являются комплексно-
сопряженными. Мы делаем это по аналогии с комплексными координатами z=x +
iy и z=x-iy вещественного пространства IR2, что особенно удобно в
гамильтоновом формализме. Однако эта запись позволяет также легко перейти
к более общему случаю, когда функции ф(л:) и ф(л:) полностью независимы,
так что черта уже не означает комплексное сопряжение. Вместо уравнения НШ
при этом следует рассматривать систему уравнений
. 3tb д2ф
170
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
Все результаты гл. I, включая представление нулевой кривизны и
исследование отображения в принципе остаются в силе и для такой системы.
При этом, разумеется, различные инволюции для решений Поста уже не имеют
места, так что, например, приведенная матрица монодромии Т{к) для
быстроубывающего случая имеет вид
Здесь функции а (к) и 5(7.) уже не являются комплексно-сопряженными к
а{%) и Ь (Я) соответственно. То же_верно н для дискретного спектра kj, kj
и его коэффициентов перехода у.;, уз. В случае конечной плотности
соответствующие граничные условия теперь имеют вид
Что же касается пуассоновых структур, введенных в § 1.1, то формулы
(1.1.18) и связанные с ними следует понимать в формально-комплексном
смысле. Так, например, гамильтониан Н (см. (1.1.24)) принимает вид
и является уже комплекснозначным функционалом.
Все результаты гл. IГ также допускают обобщение, за исключением одно го
важного обстоятельства. Матрица
из задачи Римана (2.1) уже не подпадает под действие_использованной нами
теоремы Гохберга - Крейна, поскольку теперь Ь(к) и Ь(к) полностью
независимы. Поэтому для разрешимости задачи Римана приходится требовать,
чтобы частные индексы матрицы G(x,X) исчезали при всех х. Таким образом,
возникают сильные дополнительные ограничения иа данные обратной задачи,
сформулированные весьма неявно. Более того, класс таких данных уже не
является, очевидным образом, инвариантным при динамике по t.
Аналогичным образом в формализме Гельфанда - Левитйна-Марченко в качестве
условий на исходные данные приходится включать требование разрешимости
соответствующих интегральных уравнений.
Общий случай для быстроубывающих граничных условий был подробно
рассмотрен в работе [2.34]. С общим случаем граничных условий типа
конечной плотности (9.7) можно ознакомиться по работам [2.4] и [2.38,
2.39], Учитывая, что в физических приложениях в первую очередь возникает
обычное уравнение НШ, мы ограничились в книге рассмотрением только этой
модели, которая допускает инволюцию комплексного сопряжения.
14) Помимо задачи Римана и уравнений Гельфанда - Левитана - Марченко,
существуют и другие схемы построения решений для широкого класса
нелинейных уравнений. Мы имеем в виду, например, схемы, изложенные в
работах [2.21], [2.42], [2.50]. Однако нам представляется, что они не так
естественны с математической точки зрения. Вопрос о выделении решений,
принадлежащих заданным функциональным классам, в рамках этих схем
исследован менее подробно, чем в методе задачи Римана или в формализме
Гельфанда - Левитана - Марченко.
(9.6)
Нш ф (х) = р^1, lim ф'(.г) =р!,|±|,
(9.7)
х -> ~ оо
где уже, вообще говоря, Ipfj^lp? I и лишь требуется, чтобы р(х ^р],
^=р^+*х
ОО
(9.8)
- ОО
(9.9)
Глава 111
ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
В этой главе мы вернемся к гамильтоновой формулировке модели НШ и
рассмотрим основное преобразование метода обратной задачи
3~: (Ф (х), ф (х)) - ф (a), b (A); А/( у/)
с гамильтоновой точки зрения. Мы опишем пуассонову структуру на
многообразии коэффициентов перехода и дискретного спектра вспомогательной
линейной задачи, порожденную преобразованием %Г из исходной пуассоновой
структуры, введенной в гл. I. Пр и этом окажется, что модель НШ в случае
быстроубы-вающих граничных условий и в случае конечной плотности является
вполне интегрируемой системой, а преобразование представляет собой
переход к переменным типа действие - угол. В частности, будет показано,
что введенные в гл. I интегралы движения находятся в инволюции. Теория
рассеяния солитонов в этих терминах сводится к простому каноническому
преобразованию.
В этой же главе будет введен важный объект метода обратной задачи -
классическая r-матрнца, универсальная роль которой будет полностью
выявлена лишь в части II. Здесь мы убедимся, что г-матрииа является
удобным средством для вычисления и записи скобок Пуассона коэффициентов
перехода. Более того, будет показано, что такая запись скобок Пуассона
заменяет представление нулевой кривизны.
§ 1. Фундаментальные скобки Пуассона и г-матрица
Здесь мы опишем способ вычисления скобок Пуассона матричных элементов
матрицы перехода Т(х, у, А). Полученные формулы будут использованы в § 5
и 6 для описания пуассоновой структуры на коэффициентах перехода в случае
быстроубы-вающих граничных условий и, соответственно, в случае конечной
