Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
порядок пространственного расположения солитонов заменяется на обратный.
В процессе рассеяния меняются только параметры - координаты центров
инерции при ^ = 0. Формулы (8.41) - (8.42)
+ **'¦/. (8-74)
дают их связь где
v; (vl - vi)2 + (vz - v/)2
, n (v, - v, )2 (v, + v-)2
+ _L у in 11 (L '' . (8.75)
Эти формулы показывают, что приращения координат xoj при рассеянии
представляются в виде суммы по двухчастичным сдвигам
а _ 1 (°i - у2*)2 + (vi + v2)2
§ 9. КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
167
для Oi>ua с очевидной заменой для vt<iv2. Таким обра-
зом, как и в быстроубывающем случае, мы имеем дело с факторизованным
рассеянием.
Процесс рассеяния солитонов с гамильтоновой точки зрения мы обсудим в
следующей главе.
§ 9. Комментарии и литературные указания
1) Регулярная задача Римана об аналитической факторизации подробно
изучена в математической литературе; см. монографии Н. И. Мусхелишвили
[2.22] и Н. П. Векуа [2.1]. Основной аппарат состоит в сведении ее к
сингулярным интегральным уравнениям. Последние исследуются в различных
функциональных классах, главным образом в гёльдеровских. Для наших целей
более удобно работать с нормированными кольцами 91 п*п и в кото-
рых задача Римана естественно сводится к интегральному уравнению Винера-
Хопфа. Такой подход был разработан в работе И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна
[2.5]; там же содержится используемая нами теоре.ча о разрешимости задачи
Римана. Переход от матрицы рассеяния S(X) к матрице G(X)=a(X)S(X),
осуществленный в § 1, является важным шагом для применимости этой
теоремы.
2) В теории солитонов метод задачи Римана был предложен в работе
[2.10], в которой также была дана удобная формулировка для задачи с
нулями. После этой работы метод задачи Римана приобрел большую
популярность и стал активно использоваться (см" например, [2.49]). В
работах
[2,8], [2.32-2.33] задача Римана впервые была положена в основу решения
обратной задачи для линейного матричного дифференциального оператора
первого порядка.
3) Матрица В (К), обобщающая скалярный множитель Бляшке, была, в общей
ситуации, введена в работе [2.24]. Для сведения задачи Римана с нулями к
регулярному случаю мы в § 2, как и в работе [2.10], умножаем матрицу В
(Л) на матрицу G+(X) справа. При этом факторизуемая матрица G(X) не
меняется, В других работах (например, в монографии [2.11] и з [2.49])
принято умножать В (Л) на G+ (Л) слева. При этом факторизуемая матрица
преобразуется подобным образом.
4) Простой вывод дифференциального уравнения по х в § 2 и
дифференциального уравнения по t в § 3 является основным идейным
достижением метода задачи Римана и основан практически только на теореме
Лиувилля. Идея получения условия нулевой кривизны из задачи Римана с
заданной явной зависимостью матрицы G(x, t, Я) от параметров х и t была
сформулирована В. Е, Захаровым и А. Б. Шабатом и подробно изложена в
работе
[2.10]. Сходные идеи содержались также в работе [2.17], где, по существу,
рассматривалась специальная задача Римана на алгебраической кривой. После
этого стало ясно, что вид матриц U (х, t, К) и V (х, t, ?.) из условия
нулевой кривизны определяется только главными частями в существенно
особых точках факторизующих матриц F±(x, t, Я) (сравни с § 2-3). При этом
опять существенно используется теорема Лиувилля (см. [2.13], [2.43-
2.45]),
5) При условии, что функция |3(s) принадлежит пространству Ь2{-оо, оо),
операторы К* и L.*, введенные в § 2, определены и ограничены в
пространстве 7-2(0, оо). При этом в силу (2.64) для функции f(s) из
7.2(0, оо) имеем
<К
kx (s, s') / (s') / (s) dsds' =
s
^ p (u - s) } (s) ds
du 0, (9Л)
так что оператор К* (а также и L*) является положительным оператором,
монотонно зависящим от х. Более того, операторы 1-ЬеК± и l + eL±
ограниченно обратимы как при е=1 (по очевидной причине), так и при е= -1
(в силу
168
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
условия (А)). Так просто доказывается равномерная по х обратимость
операторов I + еК* и I + eL* в пространстве L2(0, оо).
Однако при нашем общем условии на функцию (3(s) эти операторы определены
лишь в пространстве 7ц (О, °°); поэтому нам приходится обращаться к
теории Гохберга- Крейна и более подробно проводить исследование в п. 3 §
2.
6) При доказательстве асимптотик матриц G±(x, X) при |х|->оо мы
существенно использовали явную зависимость матрицы G(x, к) от параметра х
(см. (2.13)), которая приводила к явному виду (2.64) - (2.65) ядер kx(s,
s') и lx(s, s'). С другой стороны, для уравнения НШ матрица G(x, t, к)
явным образом зависит и от переменной t (см. формулу (3,9)). Поэтому
естественно возникает вопрос: нельзя ли таким образом исследовать
поведение матриц G±(x, t, к) при t-*-±оо и вывести асимптотики решения
уравнения НШ ф(х, t) при 1->-±оо? Впервые такие асимптотические формулы
были получены в работе [2.9] и строго доказаны в работе [2.23].
Эта задача сложнее, чем разобранная в п. 3 § 2, и была решена в работе
[2.12]. В этой работе было показано, что на прямых х-ol = const при 7-"-
