Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 44

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 180 >> Следующая

на листах Г± (за возможным исключением точек ветвления), удовлетворяющих
условиям вырождения (6.21) - (6.22) и обладающих свойствами 1)-2) и 4).
Тогда утверждается следующее.
I. Задача Римана однозначно разрешима.
II. Матрицы S±(x, X), построенные по решениям G±(x, X) по формулам (6.14)
- (6.15), удовлетворяют дифференциальному уравнению вспомогательной
линейной задачи
dS±?-X) - = + ио (*)) S± (х, *), (6.44)
где
U0 (х) = /и ('((х) (т+ + ф (х) а_).
(6.45)
136
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
III. Решения G±(х, Я) имеют асимптотики при х-"-±оо, пред-писанные
свойством 3).
IV. Функции ¦ф (лг), ф (лг) удовлетворяют граничным условиям конечной
плотности
Шварца.
V. Функции ар(Х) и ЬР(Х), где av(X) дается формулой (6.27), являются
коэффициентами перехода непрерывного спектра вспомогательной линейной
задачи (6.44), а матрицы 5±(лг, X) составлены из соответствующих решений
Йоста по формулам
(6.5) - (6.6), Дискретный спектр вспомогательной линейной задачи состоит
из набора чисел Л1; . . . , Хп, а величины у,, . . . , уп играют роль
соответствующих коэффициентов перехода.
Доказательство сформулированных утверждений может быть проведено по схеме
§ 2. При этом, поскольку риманова поверхность Г имеет род 0, удобно
перейти к униформизующей переменной z из § 1.9
так что контур 31а переходит в вещественную ось на комплексной z-
плоскостн. Листы Г± переходят в верхнюю и нижнюю полуплоскости
соответственно; окрестность точки Х = оо на Г± с условием ±1тЛ>-0
переходит в окрестность точки z=oo, а окрестность точки Л=оо иа Г± с
условием ±1тЛ<0 - в окрестность точки г = 0. Инволюции X- Ю^-Л+Ю на при
таком отображении отвечает инволюция z<->-m2/z вещественной прямой.
Из формул (1.8.13) (1.8.14) и (1.9.14) для функций G±(x, z) = G±(x, X(z))
имеем интегральные представления
lim ф (х) = р, Нш ф (л:) = ре'0,
(6.46)
-1 ш
где р=-и граничные значения принимаются в смысле
(6.47)
+ j* Ф11) (*, s) е (s, г) ds + - Ф+1 (л-, s) е (s, z) ds j (6.48)
О О
И
G_ (х, z) = / -f - o2G~2 (0) +
z
оо
"
О
О
§ 6. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ЗАДАЧА PUA1AHA
137
где
e(s,z)=enskz^=e ' 2 (6.50)
Эти интегральные представления обобщают соответствующие формулы (1.36)
для быстроубывающего случая. В них явно учтены как асимптотики (6.28)--
(6.30), так и особенности матрицы G+ (х, z) при 2 = ±ю (см. условие 4)).
Интегральные представления (6.48) - (6.49) и являются основой для
доказательства утверждений I - V. Используя их, можно получить систему
интегральных уравнений, заменяющую исходную задачу Римана и являющуюся
аналогом уравнения Винера--Хопфа в быстроубывающем случае (см. § 2). В
нашем случае, однако, возникают дополнительные технические осложнения.
Во-первых, следует отдельно рассматривать случаи различного поведения
Ьр(к) в точках ветвления к-±а; всего имеется четыре возможности. Во-
вторых, в силу свойств 3)-5) данные дискретного спектра kj, у, не
независимы от данных непрерывного спектра ЬР(Л); в частности, в случае
виртуального уровня они участвуют в характеристике поведения матрицы
G+1(.v, /,) при 7,= ±с.) (см. условие 4)). Тем самым решение задачи
Римана с нулями нельзя представить в виде произведения множителей Бляшке
- Потапова и решения регулярной задачи Римана с теми же данными
непрерывного спектра (сравни с § 2).
Поэтому подробное исследование задачи Римана (6.43) по схеме из § 2
выглядит весьма громоздко и не является столь поучительным, чтобы его
приводить здесь со всеми деталями. Вместо этого в следующем параграфе мы
более подробно рассмотрим другой подход к решению обратной задачи,
основанный на формализме Гельфанда - Левитана - Марченко и также
приводящий к доказательству утверждений I-V.
В заключение, этого параграфа укажем, что, аналогично § 3, метод задачи
Римана позволяет доказать, что если данные /д (/.), Aj, Yj зависят от t
согласно формулам (1.10.7)
ЬР (к, 0 = е~пмЪр (к, 0), у j (t) = e~tl'ihityi (0), (6.51)
ЫО=А;(0), /=!,..., и,
то построенная по ним функция ф(х, i) удовлетворяет уравнению НШ для
граничных условий конечной плотности.
Для этого следует включить в задачу Римана (6.43) зависимость от t:
G"(x, t, k) = G+(x, t, к) G_(x, t, k), (6.52)
где
Gp {x, t, k) =E~l (t, kk(k))Gp(x, k)E(t, kk(k)). (6.53)
Рассматривая вытекающее из (6.52)--(6.53) равенство
^ (х, t, к) РД (х, t,k)= - (x, t, k) FZ1 (x, t, k), (6.54)
dt dt
138
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
где
F±(x, t, %)=S±(x, t, Мг (К)), (6.55)
и действуя по аналогии с § 3, получаем, что эти матрицы, наряду с
уравнением по х
^=U{x,t,l)F±, (6.56)
дх
удовлетворяют также и уравнению по t
dF+
-- = VP (x,t,X)F±, (6-57)
dt
где матрица Vp(x, t, л) совпадает с введенной в § 1.2.
Таким образом, и в случае конечной плотности метод задачи Римана приводит
к условию нулевой кривизны, так что построенная в результате решения
обратной задачи функция гр> (лг, t) удовлетворяет уравнению НШ.
§ 7. Решение обратной задачи для случая конечной плотности. Формализм
Гельфанда - Левитана - Марченко
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed