Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
плотности.
В данном параграфе все основные вычисления будут носить чисто локальный
характер. Мы будем считать, что функции ф(х) И ф(х) заданы в интервале -
L<lx<lL, и будем рассматривать
172
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
только "финитные" функционалы, т. е. функционалы, зависящие только от
ф(х), ф(х) при я внутри этого интервала. Точное определение финитных
функционалов было дано в § 1.1.
Напомним, что скобка Пуассона таких функционалов выглядит следующим
образом:
причем вследствие свойства финитности интегрирование на самом деле
ведется по меньшему интервалу. Граничные условия при этом роли не играют.
Здесь и в дальнейшем наряду с вещественнозначными функционалами мы будем
рассматривать и функционалы, принимающие комплексные значения. Структура
Пуассона по линейности переносится и на такие функционалы, и их скобка
Пуассона по-прежнему имеет вид (1.1).
Наша ближайшая цель - вычислить все 16 скобок Пуассона между матричными
элементами матрицы перехода Т(х, у, к) при разных значениях X. Из
определения Т (х, у, к) и свойства суперпозиции (1.3.7) очевидно, что при
-L<y<x-<L эти матричные элементы являются финитными функционалами. Для
одновременной записи всех скобок Пуассона удобно использовать следующее
обозначение.
Пусть А и В - финитные матрицы-функционалы, т. е. матрицы 2x2, матричные
элементы которых являются финитными функционалами. Положим
где символ 0 в правой части означает тензорное произведение. Таким
образом, объект {/105} представляет собой матрицу
4X4, составленную из всевозможных скобок Пуассона матричных элементов
матриц А и В. Мы будем использовать естественное соглашение для
тензорного произведения
L
Г / 8F 8G 8F 8G
МбфД) бф W 6фМ бТ(-'')
-)Жг. (1.1
L
(1.3)
или
(А 05) jk,mn -AjmBhn, где jk, mn = 11, 12, 21, 22, так что
{Л05}йтп= {А!т, Вкп}.
(1.4)
(1.5)
Введенное обозначение окажется достаточно удобным, в чем мы неоднократно
убедимся в дальнейшем. В частности, основ-
§ 1. СКОБКИ ПУАССОНА И л-МАТРИЦА
173
ные свойства скобки Пуассона принимают вид {Л(r) В} = - Р{В(r)А}Р
(1-6)
- свойство антисимметрии,
{А (r) ВС} = {А (r) В} (/ (r) С) 4- (/ (r) В) {А (r) С} (1.7) > > >
- свойство дифференцирования и
Л 0 {В (r) С}} + Р13Р23 {С (r) {Л (r) В}} Р23Р13 +
) " ' *
+ PlsPiAB(r) {С(r) Л}}Р12Р13 = 0 (1.8) > >
- тождество Якоби.
Разъясним употребленные в этих формулах обозначения. В (1.6) участвует
4x4 матрица Р - матрица перестановки в <Са(r) С2, определяемая равенством
где А и В - матрицы 2X2, а через I, не опасаясь путаницы, мы обозначаем и
единичную матрицу 4x4 (из контекста всегда ясно, в каком пространстве
действует матрица I). Через матрицы Паули оа (см. § 1.2) матрица Р
выражается следующим образом:
В формуле (1.8) мы, пользуясь (1.2), определили операцию {<8>} и для
матриц любой размерности, так что {Л(r){В(r)С}}
* if
Представляет собой матрицу в С2(r)С2(r)С2, и через Р12 (соответственно Р,3 и
Р23) обозначили матрицу в этом пространстве, тривиально действующую в
третьем (соответственно втором и Первом) сомножителе тензорного
произведения и совпадающую с матрицей Р в произведении двух оставшихся
сомножителей.
P(t(r) Т1)=Т1(r)|
для любых векторов § и ц из С2. Из (1.9) следует, что Р2 = /, Я(Л(r)Я) =
(Я(r)Л)Р,
(1.10)
(1.9)
(1.11)
и в базисе 11, 12, 21, 22 имеет вид
(1.12)
174 ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Очевидно, что в записи основных свойств скобки Пуассона через операцию
{(r)} можно считать матрицы А, В, С матрицами
5
пХп, а не обязательно 2X2; матрица n2Xnz Р при этом по-прежнему будет
определяться формулой (1.9) и обладать свойствами (1.10).
Вернемся теперь к вычислению скобок Пуассона. Рассмотрим матрицу U{г, Я)
как финитную матрицу-функционал от ф(л:), ф(л:), -L<.x<L. Напомним ее
явный вид:
U (г, X) = ^-o3 + U0 (г) = -^-о3+ V* (А (г) а+ + Ф (г) о.), (1.13) 2 (
2 (
в котором участвуют матрицы Паули о3, о+ и а~ (см. § 1.2). Основные
скобки Пуассона из § 1.1
{Ф (*), Ф Ш = {Ф (*), Ф Щ = о,
(1.14)
{Ф (х), Ф (у)} = ^ (X - у)
позволяют легко вычислить матрицу скобок Пуассона {U{x, k)(r)U(y, р)}:
{U (х, Я) (r) U (у, р)} = (tm) (а- (r) а+ - а+ (r) а-) Ь(х -у). (1.15) *
Заметим теперь, что матрицу в правой части можно представить в виде
о+ - а+(r) <?_ = j [Р, <4(r) / ] = - j [Р, /(r) а3].(1.16)
Чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться представлением (1.11)
для матрицы Р и коммутационными соотношениями для матриц Паули
[о+, 0-]=0" [о3, о+]=2о+, [о3, О-] =-2о_. (1.17)
Формула (1.16) позволяет переписать правую часть (1.15) в виде линейного
выражения по U(x,k) и U(y, р).
Действительно, благодаря (1.16) ее можно представить в
2 ( 2 (
виде коммутатора
8(х-у). Да-
X - р
лее, в силу свойства (1.10) матрица Р коммутирует с матрицей U0(x)(r)I +
I(r)U0(x). Поэтому мы можем записать матрицу скобок Пуассона {U(x, %)(r)U(y,
р)} в следующем виде:
>
{U(x, k)(r)U(y, р)} = [г(Я-р), U(x, А)(r)/+/(r)?/(х, р)]б(х-у),
(1.18)
§ I. СКОБКИ ПУАССОНА И л-МАТРИЦА
