Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
случае конечной плотности. Ниже мы убедимся, что рассеяние этих солитонов
удовлетворяет условию факторизации, так что ф(л:, /) определяет солитон в
обычном смысле.
В отличие от солитона для быстроубывающего случая, который
параметризуется четырьмя вещественными параметрами, наш солитон ф(х,/)
зависит от двух параметров: скорости v и координаты центра инерции х0 в
момент / = 0. При этом скорость солитона не произвольна, а удовлетворяет
ограничению |и|<Ссо. Параметр у, = У(гг-v'\ характеризующий амплитуду
солитона, исчезает при | а|-нв (0->-О). С физической точки зрения решение
I) представляет собой уединенную волну, распространяющуюся над
конденсатом постоянной плотности; при этом возникает естественное
ограничение на ее скорость.
Рассмотрим теперь общий случай, когда п произвольно. Ядро Q.(x+y)
интегрального уравнения (8.10) по-прежнему является вырожденным и
представляется в виде
Для столбцов fj(x) получаем систему линейных алгебраических уравнений
П
&(х + у)=2 MjNyi[x+^
(8.24)
где
\j = lmzj- Y со2 - Ц,
(8.25)
а
(8.26)
и Ут3> 0, /= 1,..., п.
Решение уравнения (8.10) ищем в виде
П
ГУ (X, у) = S fi (х) N]e,y" .
(8.27)
fi (х) + М/е ' + 2 Ay (х) ^ (х) = 0,
П
(8.28)
i=i
где функции Aj,(x) даются формулой
V mfm, (г. + z,) (v/+v,)x
22/ Пу + и)
. (8.29)
160
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
Последнее выражение можно упростить, используя соотношения
2. - 2 ,
V/ = --- и \Zj \ = со. В результате для Л,, (а) получаем
кд~\[т.т, -7-(-Vj+v/Ijc
Ап(х)= 1-V ' . (8.30)
2.-2,
Подчеркнем, что система уравнений (8.28) распадается на две системы для
первых и вторых компонент столбцов /Да). Для вторых компонент /Да)
получаем систему линейных алгебраических уравнений
-1 Г~ vjx п
Р( (х) + -¦¦¦', 'П' е~ + S АР W Pt{x) = 0, j = 1, п. (8.31)
2
Функция if (а) выражается через р,(х) по формуле
Ф (а) = 2Р Wт, Pi (аУIх'2 + р, (8.32)
со *->
/=1
которую на.основании формул Крамера можно переписать в виде
¦w-*1 +р- (833)
Здесь Л (а) - пУ(п матрица с матричными элементами Ац(х), а матрица Л Да)
имеет вид
! е, (х)
А(х) | ...
Мх) = \ \еаМ\. (8.34)
Kd1(x) ... dn (х) где
dj (а) = Ytrij е1* ', е,- (а) = - dj (а), /=1,...,п. (8.35)
2/
Формулы (8.33) - (8.35) дают окончательное выражение для безотражательных
функций ф(х), Ф(а) в случае граничных условий конечной плотности.
Отметим, что гладкость функции ф(х), т. е. невырожденность матрицы
/+Л(а), равно как и справедливость граничных условий конечной плотности
(8.19), вытекают из доказанных в предыдущем параграфе общих утверждений I
- V. Однако их можно проверить и непосредственно, отправляясь от формул
(8.33) - (8.35). При этом предельные значения (8.19) принимаются не
просто в смысле Шварца, а с экспоненциальной точ-
§ 8. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ 161
ностью 0(e-vW), где v = min fv,}; это будет простым следст-
/=1....,п
вием приведенных ниже рассуждений.
Решение ф(х, О уравнения НШ с начальным условием гр(л:) вида (8.33) -
(8.35) получается после замены в этих формулах ffij на fn,{t):
щ(0 = Vm/, / = 1, (8.36)
Убедимся, что это решение описывает процесс рассеяния п солитонов.
Не умаляя общности, будем считать, что параметры Klt... ...Д" решения
ф(х, О упорядочены: .->ЯП. В этом слу-
чае решение ф(х, t) при /->-+оо представляется в виде следующей суммы
односолитонных решений:
ф (х, t) = ф(Г> (х, t) + е1& (ф!-) (лг, t) - р) + ...
... + (ф'г' (х, t) - р) + О (е-^1'1) (8.37)
при /-э-оо и
ф (лг, 0 = ф("+) (X, t) + еЬп (ф)г+1 (ЛГ, t) - р) + ...
. . . + e Sn+-+в'} (ф^ (лг, 0 - р) + О (е-"М) (8.38) при t->¦ "Ьоо, где c
= min (|п,--пг|}.
Здесь ф/*7 (лт, ^) -солитоны с параметрами 0,-, v}, х[f'1:
Ф/±; (х, t) = ф9/. (лг - Vjt + дго f), (8.39)
где
Z 0
е,0/' = , О Д 0,- < 2я, Vj = Xi = - со cos - (8.40)
zi 2
и
У In C'f -y + <vf + v;>' +
1 /_1 (VI - vi)2 + (v/ + v/)2
-'--S lnr-,1 , ' <8-41>
(7 . 71 Л2 _±_ /v v Л2
2v/ Si ~ y/)2 +(v/-v/)2
.<+)_ , 1 vc (V1 - vj)2 + (VC + v/)3
0/
+ S ln7^
2v/ /=/+1 (t'/ -1'/)2 +(v' ~ v/)2
i C-i - vi)2 + (vc + v/)a - - V In -------------' 1 ' ,
(8.42)
2v/ (y/ -u/)3 + (v/ -v/)2
лг0/ = - InleyY/ = - InIV/1, i - I, n. (8.43) v/ v/
162
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
Здесь gj - знак вещественного параметра /ук который однозначно
определяется по формуле (8.7).
Доказательство сформулированных утверждений будет основано на явных
формулах (8.33) - (8.35).
Рассмотрим, для определенности, случай -оо. Нам достаточно показать, что
на траекториях С,- отдельного солитона
.V-Vjt = const
(8.44)
решение ф(х, t) при -оо стремится к односолитонному решению ег<е'+-+е/-')
ф)~) (х, t), а на траекториях общего вида х-vt= = const асимптотически
принимает значения р, реНв^-.+в;) и 0 = 0i + .. .+0"(mod 2я), если v~>vu
+->о>++1 и и">и соответственно. Эти предельные значения принимаются с
экспоненциальной точностью 0(e-vc|f|).
Приступим к доказательству этих утверждений. Запишем матричные элементы
матрицы А (х, t) в виде
Aji (х, t)
iсо Zj(x,t)+Zi (ж,О
(8.45)
