Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
НШ и МГ, отвечают случаю
Ь(Х) = 0 (5.120)
при всех X. Для таких данных как задача Римана, так и уравнения Гельфанда
- Левитана - Марченко сводятся к линейным
376 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
алгебраическим уравнениям и решаются явно. Для описания солитонных
решений здесь мы используем задачу Римана, в которой следует положить
G(x,X)=I. (5.121)
Рассмотрим сначала простейший случай л4= 1, я2=0. Данными являются чисто
мнимое Ха=Ыа, и0>0, и вещественное Решение задачи Римана дается формулами
G+ (х, Х) = В (х, X) (х), (5.122)
G^(x,X) = Q(x)gB~1(x,X), (5.123)
где В(х, X) - множитель Бляшке - Потапова:
В(х,Х) = 1 + ^-^Р(х), (5.124)
X - Ао
Р(х) - ортогональный проектор:
ры=-+-Ф Vi* <5->25>
1 + у- (jr) \То(*) 1 /
- ( -\
Уо(х) = е~ 2 "+*- у0, (5.126)
а матрица Й(х) однозначно определяется из уравнения
Я2(х)=-&о3В(х, О)^-1 (5.127)
и условия
lim Q(х) = 1. (5.128)
ОО
Функции ф(х), я(х) вычисляются по формулам (4.23) и (5.65) и имеют вид
ф(*) = ^-arctg-j-, (5.129)
Р То (Л
2т | х0 - -) % (х)
я (х) --------i^-------------, . (5.130)
Р (1 +t^W)
где выбрана главная ветвь функции arctg х: arctg (±оо) = =±я/2. Для
топологического заряда Q отсюда получаем
<3 = - е0, е0 = sign у0. (5.131)
Вводя зависимость коэффициента ч0(х) от времени по формуле -Л(Хо_-1-Ь
Чо(х, t) = e 2 1 ° У0(х) (см- (4.73)), получаем, что *ф(х, t) =
§ 5. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ SG 377
4 1
= arctg удовлетворяет уравнению SG. При этом
Р Vo (х, О
я (*,9 = -§-(*, 9- (5.132)
01
Перепишем выражение для ф(х, i) в виде:
v(Jfl9 = _-^LarCtgexp{2L^^^}1 (5.133) р I у 1 - V* )
где
v =------, М<1, (5.134)
1 +*S
хо - ^ ' ~ Р-~ In | у01. (5.135)
т
Формула (5.133) дает наглядную интерпретацию полученного решения в
терминах релятивистской частицы со скоростью v и координатой центра
инерции х0 при t=0. Это решение соответствует солитону модели SG. Помимо
непрерывных параметров v и х", солитон модели SG имеет важную дискретную
характеристику- топологический заряд Q = -'е0. Иногда решения с зарядом
Q=1 называют (собственно) солитонами, а с зарядом Q = - 1 -
антисолитонами.
Следующий по простоте случай получаем при п(=0 и п2= 1; данными являются
параметры Xl=-X2, ImXj, Re^X) и 41=4^ Ф0. Решение задачи Римана имеет вид
G+(x,K)=Il(x,K)g-lQ-l(x), (5.136)
G-(x,X)=Q(x)&Il-l(x,K)- (5.137)
Здесь П(х, X) - произведение множителей Бляшке - Потапова: Щх, X)=Bl(x,
Х)Вг(х, X) (5.138)
с проекторами Р((х) и Р2(х), определяемыми из уравнений
П*(*. X,)gj=0, (5.139)
7/Wj, /=1,2, (5.140)
а матрица Й(х) находится из равенства
Q2(x)=^n(A, 0)^-' (5.141)
и условия (5.128).
Решение уравнений (5.139) в общем случае было дано в § II.5 первой части.
После элементарных преобразований из
?/(*) =
378
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
приведенных там формул и (4.23) получаем
Ф (х) = - - arctg ¦ ^ ^ ~ Tl ^ . (5.142)
Р М + М 1 + I Vi G) I2
Вводя зависимость от времени заменой
TfiW^exp + j-'j fjfiU),
получаем решение ср(х, t) уравнения SG:
' т(й1 (t - vx)
+ фо
ф (х, 0 = 77 arctg -----------------!--- - , (5.143)
р ? / тсо2 (х - Vi - х0)\
ch
К1-;
где
v = ImA,lt ?0 = argvlt
t v У 1 - V2 , I I
"1 = 777. "2=77-7. *o = ln I Yil-
j T-i j j T-i j mco2
(5.144)
Как всегда, л(х, t) вычисляется по формуле (5.132).
Функция ф(х, t) параметризуется четырьмя вещественными параметрами и
описывает частицеподобное решение уравнения SG с внутренними степенями
свободы. Оно называется двойным солитоном или бризером. Помимо движения,
отвечающего релятивистской частице со скоростью v и координатой центра
инерции х0 при / = 0, двойной солитон осциллирует как в против, m
СО1
странстве, так и во времени с частотами -- и - - со-
V1 - v2 У1 - V2
ответственно. Параметр ф" играет роль начальной фазы. В частности, при у
= 0 двойной солитон является периодическим по t решением уравнения SG.
Двойной солитон имеет нулевой топологический заряд и его можно
интерпретировать как релятивистское связанное состояние солитона и
антисолитона.
Сравнивая модель SG с уже рассмотренными выше, можно отметить, что
солитон модели SG, как и солитон модели НШ в случае конечной плотности,
не имеет внутренних степеней свободы. В то же время двойной солитон
модели SG ближе по своей природе к солитону модели НШ в быстроубывающем
случае и модели МГ.
Опишем теперь общее п-солитонное решение уравнения SG. Оно
параметризуется n4 + n2 несовпадающими числами Х}=-У= =ixи xj>0, /= 1,
..., np, lh+n=-Xh, ImXb, Re^>0, k=nl+\, ... . .., "1 + я2, где "="i +
2"2, и неравными нулю величинами 7=
§ 5. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ SG
379
=Ъ, /=1, .. ., пц 4k+n2=4k, k=ni+l, Решение ф (лг, t)
определяется из уравнения
i\frpx,t)
е * 3=ё(- a3)niU(x,t,0)8'1 (5.145)
и условия
lim ф (х, t) = 0, (5.146)
X-9- 30
где матрица П(л:, t, X) представляет собой упорядоченное произведение
множителей Бляшке - Потапова:
s-Л.
B,(x,t,X). (5.147)
/=i
Участвующие в Bj(x, t, X) проекторы Pj(x, t) определяются из системы
уравнений
