Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
П*(дг, t, Xi)h=0, (5.148)
где
?/UO = (7/(Jf,0>l (5.149)
- ((?•/- Л') *+ (?./+ 5М А
у f(x,t) = e-^ 'I' ^ "hi, i= 1, (5.150)
В ситуации общего положения п-солитонное решение при t-*--v+oo
распадается в сумму пространственно разделенных солитонов и двойных
солитонов:
П\ rtt+rt*
ф (*. о=2 фТ (х, о+2 * (х' ^+ 0 (5-15 о
/=1 ft=nn
где c=min!min -min \ vt- - vA, min--minln*- yjl.
1 / Yi - v) ^ * Yi-vi ** j
Здесь <p(sr> (x, t) - солитоны с параметрами
, x[f = xo!± Ax0;, e,- = - Sign V/, (5.152)
v,- =
1 + Kj
где
X0i = --In IV/1 (5.153)
380
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
АХ0; =
In
X;-Xt
- s
In
/- 1......"1,
a 'Ф**J (x> ^ ~ двойные солитоны с параметрами
Vk =
1-I ^ la
1 +1 h I2
Re У.ь
lm Xb
(r)2ft ¦
1**1 1**1 xiV = X0k ± Axak, C|>oft'' = ф0А ± Дфо/!)
где
Xok :
Y i
тощ
In | Y* |, ?ot = argVft
Yi-vl
oft
s
In
>bft A;
A<Poft = 2 arg
xk - xt
xk - Xi
kk - X
1 are^. l</^n R *
(5.154)
(5.155)
(5.156)
(5.157)
(5.158)
(5.159)
k = flj -f- 1,. . ., Hi -f- По.
Ситуация общего положения означает, что все скорости солитонов и двойных
солитонов различны.
Для доказательства формул (5.151) -(5.159) достаточно воспользоваться
результатами § II.5 части I об асимптотическом поведении матрицы П(л:, t,
к) при /->+<" на прямых x-vt= =const.
Приведенные формулы показывают, что теория рассеяния солитонов в модели
SG является факторизованной. В следующем параграфе мы опишем ее с
гамильтоновой точки зрения.
В заключение укажем, что, как следует из (5.151), топологический заряд Q
п-солитонного решения равен сумме зарядов входящих в него солитонов-.
Q = ~2iEi- (5-160)
i=i
На самом деле это соотношение верно и в случае, когда b(k)^е= V=0.
Действительно, можно показать, что при фиксированных к1у уз, /'=1, ...,
п, решения обратной задачи - функции ф(х) й л(х) - непрерывно зависят от
b (Я). В силу целочисленности
§ 6. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ SG
381
топологического заряда Q отсюда следует справедливость формулы (5.160) и
в общем случае.
Описание динамики солитонов и результатов по обратной задаче для модели
SG на этом заканчивается.
§ 6. Гамильтонова формулировка модели SG
Здесь мы покажем, что модель SG в быстроубывающем случае является вполне
интегрируемой гамильтоновой системой. Доказательство будет проведено явно
путем построения канонических переменных типа действие - угол. С этой
целью мы приведем r-матричную запись скобок Пуассона модели и с ее
помощью вычислим скобки Пуассона коэффициентов перехода и дискретного
спектра. Мы дадим явное выражение для локальных интегралов движения
модели в терминах переменных типа действие - угол, реализацию генераторов
группы Пуанкаре и интерпретацию этих результатов в терминах
релятивистской теории поля. В заключение этого параграфа мы рассмотрим
рассеяние солитонов модели SG с гамильтоновой точки зрения.
1. Фундаментальные скобки Пуассона и r-матрица. Рассмотрим основные
неисчезающие скобки Пуассона модели SG
{л(*), <р(у)}=6(*-"/) (6.1)
и перепишем их в виде
|л (х), sin Ё5ЕЖj = -L cos б (х - у), (6.2)
|л (*), cos PiM-j = - sin б (X - у). (6.3>
Для скобок Пуассона матричных элементов матрицы U (х, X) вспомогательной
линейной задачи получаем отсюда
{U(x,X) (r) U (у, р)} = ((Я, + cos M-Oj <g> o-g -
- (х sin .с20(г,-|(1 + -Lj cos ^p-o-g Э o-j +
+ (p - sin ct3(r)o2 j 6(x- y). (6.4>
Наша цель состоит в том, чтобы представить правую часть (6.4) в виде
следующего коммутатора:
[г(Я, р), U(x, X) (r)/+/(r) ?/(х, р)]6(х-у). (6.5)
Правая часть (6.4) не содержит функций л(х) и л (у), и поэтому из явного
вида матрицы U (х, Я) получаем следующее условие на матрицу г(Х, р),
гарантирующее исчезновение зависи-
382 гл. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
мости от я в (6.5):
[г(А,, р), 03(r)/+/(r)Оз]=О. (6.6)
В соответствии с (6.6) будем искать r-матрицу в виде
r(A, р)=/(А, р) (/(r)/-03(r)0з)+g"(A, р) (01(r)01+ 02002)- (6.7)
Используя формулы коммутации матриц Паули, отсюда для двух неизвестных
функций /(A, р) и g(K, р) получаем систему ш четырех уравнений:
% + т)f {К + +jr)g(K ^=^ ~ "*") '
ц ¦+ у) / (К р) + (а + JL) gfr, р) = ¦- ¦iL (р _.-L),
А-^)/(А,р)+ (р-^(А,р) = ^(А + ^), ( }
(%-±ук^)=^^ + ±.у
Система (6.8) однозначно разрешима и ее решение имеет
вид
Аг^) = т|±Т' ?М=-тг^Г' (6-9)
2 А - ц А* - р2
л де
Ч=Р2/8. (6.10)
В терминах переменных
а=1п А, р=1п р. (6.11)
имеем
f = J_ ch (а ft) t-----------у ? (6Л2)
2 sh (а - (5) 2 sh (а - (5)
так что
r(A, p)=r(a-р). (6.13)
В матричной записи (6.7), с учетом (6.11), (6.13), переписывается в виде
(0 0 0 0'
0 ch а - 1 0 I ," ,л
(6.14)
0-1 ch а 0 0 0 0 0
Итак, мы вывели фундаментальные скобки Пуассона для модели SG:
{U (х, А) (r) Н (у, р)} = [г (А, р), U (х, А) (r) / + / (g> U (х, р)] 6 (х -
у).
(6.15)
§ 6. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ SG
385
Отсюда получаем выражение для скобок Пуассона матрицы перехода:
{Т (х, у, Я) (r) Г (х, у, р)} = [г (Я, р), Т (х, у, Я) (r) Г (х, у, р)],
(6.16) "
где у<х.
