Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 121

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 180 >> Следующая

получим
apii) dp'i) ft
--(х, у) + сг2 ---(х, у) сг2------------Р- 0 (*) а3Г(1) (х, у) +
дх ду 4i
+ (В (х) сг2 - а2В (д)) К{1) (х + у) +
г" /аг(1) ar:i) ft \
+ J ( - (*, Z)+ Oa (х, Фг - J 0 (*) а3Г(1) (х, г) j К(0) (г +у) dz+
-ОО
с /<эг!2) аг(2) в ч \
~*~J 1~д*~('Х'2^ + а2~аГ^'^а2_ 4Г 0(^0зГ (•** гП*
xK^(z + y)dz= 0, (5.103)
где матрицу 0 (л:) сг3/С(0) (х+ г/) мы исключили при помощи 4t
уравнения (5.76). Чтобы исключить и матрицу (В(х)о2-atB(x))Kw (х+у),
воспользуемся уравнением (5.77), которое с учетом (5.95) запишем в виде
Г(2) (*, у) + (х + у)-f J Г(1) (х, г) К(1) (г + у) dz +
- 00
+ j Г(2)(г, г) [к[0) (z + у)-^-^- (Z + y)^dz = 0. (5.104)
-оо
Интегрируя в нем по частям, приходим к соотношению
X
В (х) К{1) (X + у) = Р'2) (х, у) + Г Г(1) (х. z) К{1) (Z + у) dz +
т J
л /• п аг(2)
+ j Г<2) (х, z)K(0) (Z + у) dz + 2 j __ (*, Z) a2Kw (z+ У) dz. (5.105)
§ 5. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ SG
373
Умножим уравнение (5.105) слева на матрицу - (<т2-
4t
- В(х)агВ~1 (х)) (ниже мы покажем, что матрица В(х) невы-рожденна) и
сложим его с (5.103). Мы получим, с учетом (5.88) и (5.100), следующее
соотношение:
X
Ф(1) (х. У) + j Ф(1) (*, г) К(9) (г + у) dz +
-ОО
+ f Ф(2) (X, г) к{1) (г + у) dz = 0, (5.1 Об)
где
^p(i) дГ(2>
Ф(1) (х, у) = ---(х, у) + <т2 -- (х, у) сг2 -
дх ду
- ± 0 (х) <т3Г(1) (х, у)-^г (а2 -Й'2 (х) а2Q2 (*)) Г(2) (*, у), (5.107)
41 41
^р(2) дГ^
Ф(2) (X, у) = -- (X, у) + Й~2 (х) 02Q2 (х)-------------(х, у) 02 -
дх ду
-iflfx) 0зг<2) (х, у) - (02 - Й~2 (х) 02Й2 (х)) Г(1) (*, У1 (5.108)
41 41
Рассмотрим теперь уравнения (5.99) и (5.102). Умножим последнее слева на
матрицу В (х) а2В~1 (х), справа на матрицу 02
и сложим с первым. Исключая из получившегося равенства матрицу - (02-
В(х)огВ~1(х))К(0) (х+у) при помощи уравнения
41
(5.76), приходим к соотношению
аг(2) _ аг(2)
---(х, у)-\ В (х) 02В-! (х) --(х, у) 02 - дх ду
77 (02 - В (X) 02В'1 (х)) Г(1) (X, у) +
4i
+ (Г(1) (X, х) - В (х) 02В-1 (х) Г(1) (х, х) 02) Км (х + у) +
с I аг:1) аг(1)
+ j { дх~(Х' В М а25_1 (*) - дг (*. г) а2 -
-оо
- - J (02 - В (х) о2В~1 (х)) Г(2) (X, z) ) Кш (Z 4 у) dz 4
п / аН2^ аг(2) \
+ j ( дх (X, 2)4- В (х) о2В~г (х) (х, z) 02 j К{2) (г + y)dz -
- оо
X
(02 - В (х) а2В-1 (л:)) j Г(1) (х, z) К<0) (z + y)dz = Q. (5.109)
374 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Далее, воспользуемся снова соотношением (5.95), в силу которого имеем
X
J Г(1) (х, Z)K(5) (z + y)dz =
-оо
= - J- (' Г1' (л:, 2) К(:) (2 + у) dz + Г(1) (х, х) о2К1] (х + у)-
-оо
С 5Г<1) m
- j -(л:, г) а2А:( (z + y)dz. (5.110)
-со
Подставляя его в (5.109), получим
аг:2) аг(2) в
--(х, у) + В (х) а2В'х (х) --- (г, у) а2 + -^7 о (г) о3К{ (х + у) -
дх ду 41
- ^ (а2 - В (х) а2В^ (х)) Г*1' (х, у) +

п / <ЭГ(1) дГ{1) т
+ -г- (х, г)+сг2---(х, г) а2- - (а2 - В (х)а2В 1 (х)) х
J дх dz 4i
-ОО
Z /дГ'г) ¦ дГ!2)
хГ"' (х, z))K (z + y)dz -f j f - (x,z)+B(x)e2B'1(x) - (x, z) a2 -
-oo
- ~(a2-В (x) <t2B_1 (x)) Г(1) (x, z) j K{2) (z + y)dz = 0. (5.111)
о
И, наконец, исключая матрицу - Q(x)o3Kil) (х+у) при помощи
4i
уравнения (5.77), приходим к соотношению Ф(2) (х, у) + ^ Ф(1' (х, z) К{1)
(z + у) dz +
- со
+ 5 Ф(в) (х, 2) К(2) (2+ y)dz = Q. (5.112)
-оо
Итак, мы показали, что матрицы Ф(1)(л:, у) и Ф<2)(х, у) удовлетворяют
уравнениям (5.106) и (5.112) - однородной системе уравнений Гельфанда -
Левитана - Марченко. Но эта система имеет только тривиальное решение
(основное утверждение в доказательстве теоремы об однозначной
разрешимости системы
(5.76) - (5.77)), поэтому при всех у^х
ф^(х, у)=Фт(х, у)=0. (5.113)
Таким образом, уравнения (4.32) - (4.33) справедливы.
§ 5. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ SG 375
Для завершения доказательства п. 1Г нам осталось убедиться в
невырожденности матрицы В(х). Мы покажем, что выполняются соотношения
detfi (х) =---^ (5.114)
и
??(*):=-- В-i (*). (5.115)
41
Для доказательства (5.114) покажем сначала, что оно следует из
предположения det 5=^0. Действительно, если при некотором х0 мы имеем det
В(хо)?=0, то в окрестности х0 выполнено уравнение (4.32) и поэтому
матрица
X
Т_(х, X) = Е (х, X) + ^ Г(1) (х, у) Е (у, X) dy +
- оо
X
+ -j- ^Т(2) (x,y)E(y,X)dy (5.116)
-ОО
удовлетворяет дифференциальному уравнению (5.86) и, следовательно,
унимодулярна. Используя соотношение
-J- Е(у,Х) = ХЕ(у, (5.117)
X m dy
и интегрируя во втором интеграле в формуле (5.116) по частям, при ^,->-0
получаем следующую асимптотику:
Т (х,1)Е'1(х,1)= --В(х) + 0(\Х\). (5.118)
тп
Отсюда следует, что при х=х0 равенство (5.114) справедливо. Оно
выполняется также и при х->-оо в силу асимптотики
lim В (х) = - /. (5.119)
X • - V: 41
По непрерывности отсюда следует, что оно справедливо при всех х.
Соотношение (5.115) вытекает из (5.114) и нормировки матрицы Й(х) при х-
>-•-оо.
Случай матриц Г+1,2) (х, у) рассматривается аналогично. Обсуждение
формализма Гельфанда - Левитана - Марченко на этом заканчивается.
3. Солитонные решения. Солитонные решения модели SG, как и для моделей
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed