Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
задачи. Приведем его формулировку для уравнения (7.2).
1) Представление нулевой кривизны получается из (1.1.30) - (1.1.31)
заменой переменных (7.1). Соответствующие матрицы Ux и Vy- имеют вид
HX(s, 'П, ^-) = Ул,<р (*" t, К) + Дя.ф (х, t, Я) =
<Р"Е) "
= -VlFa> + JVe 2 ^ (7'24)
41 dz 2i
(i> 'П. = ^Л,Ф (x, t, k) 6'л.ф (x, t, k) =
= ~7-?^ + ТГе~ * (7-25)
4i дц 2i/i
Вспомогательная линейная задача
d-?r = Ux&%)F (7.26)
"5
калибровочным преобразованием
F(l,k) = e 4 (7.27)
приводится к виду
JL=(f!Laa + ±*La3)F' (7.28)
d* V 2i 21 di J
Переходя к новому базису в С2, приводящему к замене матриц Паули
СГг^сТз, СГ31- СГ2, Щь+сЦ, (7.29)
получим матрицу U(|Д) в виде
и<?Л) = -^о3~-?г4кШ-о9. (7.30)
21 21 di
Эта матрица буквально совпадает с соответствующей матрицей из
вспомогательной линейной задачи для модели НШ
U(I, Я) = ДНШ(1. mt), (7.31)
где %=-р2/4<0 и
'КЭ = -№ = *,^-(0 (7.32)
di
398
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
(см. § 1.2 части I). Последнее условие означает, что имеется
дополнительная инволюция
2) Матрица перехода 7(1, |'Д), решения Йоста 7±(|Д) и приведенная
матрица монодромии Т{К), помимо общих свойств из гл. I части I,
удовлетворяют дополнительной инволюции, вытекающей из (7.33). Для матрицы
Т(К) она имеет вид
Таким образом, коэффициенты перехода непрерывного спектра а(Х) и Ь{к)
удовлетворяют дополнительному условию
характерному для модели SG в лабораторных координатах (см.
Аналогичным образом убеждаемся, что дискретный спектр Kj, Xj и
соответствующие коэффициенты перехода Чл /'= 1,... ..., п, обладают всеми
свойствами, перечисленными в § 4.
3) Граничные условия (7.5) приводят к соотношениям
Связи Q"=0, а также их аналоги, порожденные высшими уравнениями SG,
означают, что вместе с Ь(Х) при Я->-0 исчезают и все производные
Последнее утверждение мы не можем здесь полностью доказать, так как выше
мы не описали все связи явно. Вместо этого мы примем набор условий (7.37)
за определение полного набора связей.
При этих условиях справедливо асимптотическое разложение при >,-*-0
а /_п при п>1 порождают высшие уравнения SG. Эти интегралы движения
нелокальны.
(7.33)
Т(-Х) = Т(Х).
(7.34)
а(к) = а(-7), b (/.) = Ь(- 7),
(7.35)
(4.54)).
а(0) = (-1)в, 6(0)=0.
(7.36)
(7.37)
оо
In a(k) = i ^ I-X, I-m = 0, п> 0,
(7.38)
где
I0=nQ (mod2n),
(7.39)
(7.40)
§ 7. МОДЕЛЬ SG В КООРДИНАТАХ СВЕТОВОГО КОНУСА
399
При |Я|-*-оо имеем асимптотическое разложение
(7.41)
определяющее серию локальных интегралов движения /". Их плотности
являются полиномами от %(|) и ее производных в точке В частности,
4) Временная динамика коэффициентов перехода дается следующими
формулами:
отношению к динамике.
5) Обратная задача для нашей модели является частным случаем обратной
задачи для модели НШ, рассмотренной в гл. II части I. Дополнительная
инволюция (7.35) приводит к dx
тому, что функция - (|) вещественнозначна.
Перечисленные результаты позволяют дать доказательство утверждений I-IV.
Начнем с утверждения I. Рассмотрим вспомогательную линейную задачу (7.28)
с коэффициентом ^-(|,-ц)
при фиксированном тр Пусть Т±{\, т]Д) -соответствующие решения Йоста. В
силу условия нулевой кривизны матрицы
(7.42)
>4 (л) = А./ (0), У/ (11) = е if Y/ (0), i=\, , П.
400
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
удовлетворяют системе
-Г = 1]г (?. Л. V F±,
dF+
~^=Vx(l, л, VF±.
дт\
(7.46)
(7.45)
При |-*-±оо, i]=const они имеют асимптотики
(7.47)
((_!)?/*?, Q- четно,
1 (- 1 У4'1' - io3<?, Q - нечетно,
где матрица & введена в (5.21) и реализует автоморфизм (7.29).
Эти асимптотики имеют место и вдоль пространственно-подобных прямых г| =
с|, с<СО при |-*-±оо, что следует из
где функция f(k) принадлежит пространству Шварца и исчезает при Я=0
вместе со всеми производными. Действительно, именно такие выражения мы
имеем в ядрах уравнений Винера- Хопфа или Гельфанда-Левитана-Марченко
(см. § 11.2-
11.4 части I), которые, тем самым, исчезают вдоль указанных направлений.
Вместе с ними убывают и соответствующие решения - ядра в интегральных
представлениях для решений Йоста, обеспечивая справедливость асимптотик
типа (7.47), (7.48).
Полагая т)=-1 + 0(1), получаем, что матрицы
(7.49)
F±(x,t,k) = Ftt{^L,1YL,^ (7.50)
F± (х, t, К) = F*
при x-*-±oo, /=const имеют асимптотики
Jim F_(x, /, A,)exp - ^)*+ (*- + 7) *) стз} = 8,
(7.51)
?" (*, /, Ц exp {=- ((x - -L) , + (x + 1) /) a,} =
((-1 )*3/2 S', Q - четно,
1 (- 1 )(Q'1)/2M3g', Q - нечетно.
Соответствующие им матрицы U и V
U(x,t,b)=-1rF~*, V(x,t,k)=-±F-±1 (7.53)
dx dt
§ 7. МОДЕЛЬ SG В КООРДИНАТАХ СВЕТОВОГО КОНУСА
401
представляются в виде (1.1.30) - (1.1.31), где функция ф(хД)
откуда получаем, что начальные данные (7.18) - (7.19) удовлетворяют
быстроубывающим граничным условиям. При этом матрицы
являются решениями Поста вспомогательной линейной задачи
(4.1) с теми же коэффициентами перехода и дискретным спектром, что и у
задачи (7.28).
Утверждение I доказано. Утверждение II доказывается аналогично.