Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 126

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 180 >> Следующая

у <4
6^ = 0 = -^, (6.78)
д^к
бРк = 0 = -^, (6.79)
д(Рк
6q>* = 0=-, k = n1+l,...,n1 + nt. (6.80)
Здесь на последнем этапе мы вспомнили, что вариация (6.58)
представляет собой скобку Пуассона, и учли канонический характер
переменных pU), ф(Я), Pi, qs, pft, фА, g*, л*-
Интегрируя эти формулы, приходим к искомому выражению для функционала К в
терминах канонических переменных типа действие - угол:
/С=- fx^-p(*)db + -2 q,+ - "s' Л*- (6-81)
о у ^ у *=^+1
В переменных (6.46) - (6.50) выражение для К принимает явно
релятивистски-ковариантный вид:
К =
= j /?2 + тг Р (At) dk\+ 2 VPit + M;QS/ +
/=1
rii+rtt
+ 2 ^ + MbkQbk, (6.82)
fc=n,+ l
в котором К представляется в виде суммы по независимым модам.
5. Рассеяние солитонов с гамильтоновой точки зрения. Здесь мы будем
параметризовать я-солитонное решение модели SG набором переменных {ps, qu
е,, /=1, ..., п,; Ра, Ь, ф*, Л*, k = nl + + 1, .. ., rti+Ui}, просто
связанным с {vlt xoj, е.,-, j=\,...,nl-,
vk,(j)lk,(D2k,x0k,(p0h,k=nl+l,...,ni + n2} (сравни формулы (5.152)-
(5.153), (5.155), (5.157) с (6.36) -(6.38)). В ситуации общего положения
при t-*~±оо оно распадается в сумму пространственно разделенных солитонов
и двойных солитонов с параметрами р'/61 е/ и р*\ g{*\ ф^г1,
соответствен-
но, где
рТ = Р? = Рь &] = гР = Ь, р^) = р*-' = р*. (6.83)
qf] = qj ± Aq/t лГ* = л* ± Ал*. ФаГ1 = Ф* ± Аф*. (6.84)
§ 6. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ SG
391
ч= 2 1п
\4>\>-j\
Аг|* = In
Pil>p'ft'
Xj - At
xk - xt
Xk~Xt
- 2 In - 2 In
P-JK14I
Xj - Xj
Xj - X,
K-h
Atpft = V arg
№i\>\h\
Хь-Х Xk-Xl
1 - 2 ar§ P-i!<Pftl
(6.85)
(6.86) (6.87)
j=\,...,nl, k=nl + \,..., п^ + Пг-, числа h пробегают весь набор 7.!, ...
Дп с указанными ограничениями. Здесь
Xj = ё
-УР1
j= 1
- т- <h-'P/i>
(6.88)
Xit - Xk+ni - e
(см. п. 3 этого параграфа и § 5).
Преобразования W±
W± : {р,-, qj, es, j = 1,..., tiy, Ik, ра, г]*, (р*,
k = n1-\- 1,..., tty + n2} {p/**, qtj±\ Ej, j = 1,..., tiy,
bk~\ P*-1. Ф*-,1 k = Пу + 1,..., tiy -f- n2), (6.89)
описанные формулами (6.83) - (6.87), являются каноническими.
Действительно, формулы
dXcjj dAqt dAqj dA<fk dAc/j оДг)*
dpt dpj ' dpk dpj ' d\k dPj
аДт)А dAr\m dAr\k dA<f4l dA((k dA<frn
din
dcb
(6.90)
6ft dPm dlk dP,n 5Pft /', /=1,..., /z,; k, m=n1+ 1,..., /Zi+m,
проверяются непосредственно. Тем самым преобразования W. задаются
производящими функциями ±К(ри ..., рп>; |"1+1,..
• • * " ^ni+n2t Pnj+ll • * " t Pn,+n2) *
(±) дК, (±) , дК (±) дК
q) - qi ^ -уг- • т1* - 'л*± > ф* - ^ -
:Ф* ¦
dPj............ dlk ' - " Ф* ¦ (6.91)
j-\,...,np, k=nl+ 1, . . . , Ui + Пг.
Преобразование рассеяния S
/П<"" /.<"> С ¦?<-> n<~> "Н /гД W+> С • S<+> П(+) ГП(+,\
^ • \Pj i q/ i в/1 sft > Pit i Щ i ФIt / (Р/ i qj i в/>
si i Pft > Л* > Фft /
(6.92)
392 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
представляется в виде
S = '.ГД:' (6.93)
и, очевидно, является каноническим с производящей функцией (классической
S-матрицей)
S (Pi,. . ., Рпй • • • ) Pni + lj • • • j =
= 2K(p1,. . ., Рщ, SrtlJ-lJ • • • J Pfit+1) • • • , Pflt+fJj). (6.94)
В силу факторизованности рассеяния функция К представляется в виде
К (Pll • • • > Рп 1> S^l+ll • • • I Int+fi;.) Рп!+1) . • • I Pni+fJ2) =
- 2 (р/* pi) + 2 (pp ^ 2 ^bs р*' ^
р;>Р[ " Pj>lk ik>-Pt
+ 2 ^йй (s*' Pkt ^m' Pm^' (6-95)
Здесь /(3i" /((,, и Кьь - соответственно производящие функ-
ции для рассеяния солитона на солитоне, солитона на двойном солитоне,
двойного солитона на солитоне и двойного солитона на двойном солитоне.
Вычислим сначала функцию Полагая nt = 2, пг = 0, из
(6.87) и (6.88) имеем при
Aft = - = In cth (pj - р2), (6.96)
так что
K,APuPi)=Kss{p-Pz), (6.97)
где
dK-y-- = In cth р (6.98)
dp 2 ' V
при р>0. Выражение (6.98) не интегрируется в элементарных
функциях, однако для Kss(p) легко получить представление
; Г* a.VPar'1^ _L I /гг 2
/(ss (Р) = -i_ In + - d0 - -, (6.99)
2v J eVP+e-<0 4v
ft
где константа интегрирования выбрана из естественного условия
lim Kss(p) = 0. (6.Ю0)
р-Н-ОС
§ 6. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ SG
393
Аналогичным образом, рассматривая случай /г1=п2=1, получаем
fe<p,i,p) = ^(p-i-i + A) + A,,(p+^- f-f
(6.101)
tf&s (s. P. P) = ^5S ("f - + 2 " P " 27 '
+ Mi-F"P+^-)' (6Л02)
И, наконец, полагая /г± = 0, /г2 = 2, имеем Я" (Si. Р., 1а. Ра) = К*
^ • Sa. Ра) +
+ Ksb [h+JPl- - ^ . Sa. Ра) = ^-k~'pl-±ifa-j +
| Д- ^1 ^2 Ч~ ф! Фг j | Д" ^1 ?2 + *Pl + Фа ^
_1_ Ass _|_ ДМ . (6.103)
2 у 1
Формулы (6.102) - (6.103) подтверждают, что двойной со-лнтон является
связанным состоянием солитона и антисолито-на. Действительно, они
согласованы с тем, что двойной солитон получается из двухсолптонного
решения с нулевым топологическим зарядом и параметрами Я1=1>с1, А2=гх2,
Д=Д> 42=42, уiT2< <0 аналитическим продолжением Xi=-к2, 41=42-
Разумеется, рассеяние солитонов можно описывать и в терминах параметров
Ptj, Qsj, Pbh, Qbh, pft, фй. Имеем
0s+j) = Q(si)+ /= 1,- - -,"1;
dpsi
Qbk = Qbk H---. ф*1"* - Ф* * H-^- . k - "1 + 1,..., nx + n2t dPbk dPk
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed