Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
2. Скобки Пуассона коэффициентов перехода и дискретного спектра.
Переходя в (6.16) к пределам при у->-±оо, х-"-+оо в соответствии с
определениями (4.18) и (4.49), получаем следующие выражения для скобок
Пуассона решений Поста Т±(х, Я) и приведенной матрицы монодромии 7(Я):
{Г± (х, Я) (r) Т± (х, р)} = г (Я, р) Т± (х, Я) 0 Т± (X, р) ±
±Т±(х, Я) (r)Т± (х, р) r± (Я, р), (6.17)'
{7+(хД)(r) Г_(*,р)} = 0, (6.18)
"
{Т (Я) (r) т (р)} = г+ (Я, р) Т (Я) 0 Т (р) - Т (Я) 0 Г (р) г_ (Я, р),
(6.19)
где
г± (Я, р) :
IX - (1
Я + р о
v.p.:
О
Я + р
о
о
Я - р
О ± га' (Я + р) б (Я - р)
га' (Я + р) б (Я - р) О
я + р
v.p.
О
о
Я - р
о
о
Я- р
я + р. (6.20)
Здесь в силу инволюций (4.20) и (4.51) мы считаем, что Я, р>0; при выводе
мы использовали формулу
lim v.p.
у-*± ОС
Я - р
± nib (Я - р),
(6.21)
справедливую для таких Я и р.
Из формул (6.17) - (6.20) получаем следующие выражения для скобок
Пуассона коэффициентов перехода и дискретного спектра при Я, р>0:
{а(Я),а01)} = {а(Я),а(ц)} = О, (6.22>
{b(k),b( р)} = 0,
(6.23).
384
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
И
{b (к), Ь (н)} = -2мук | а (к) Is б (к - р), (6.24)
frW.*(M)>- + -W*M. (6-25)
(6.26)
{b(k),ki} = {b(k),k/} = 0- (6.27)
{Ь(к),у/} = {Ь(к),У1} = 0, (6.28)
[а (к), Y/} = а (>-) Y/> (6 -29)
Я3-Я)
(а, Я,), у/} =-----------2Т^ а (к) у/, (6.30)
Я3 - Я)
а также
{Я/,Ч = {Я/Д,}=о, (6.31)
{Y/> Y/} = {Y/. Y/} = 0, (6.32)
(Y/. М = YY1Щ1, j,l=l,...,n. (6.33)
Таким образом, характеристики непрерывного и дискретного спектра
находятся в инволюции, а неисчезающие скобки Пуассона данных обратной
задачи (b(k), b(k), Я>0; Я,, kit у,-, у,-, /= = 1,..., п) даются
формулами (6.24) и (6.33).
Из формул (6.22) следует, что 1па(Я) является производящей
функцией инволютивных интегралов движения. В частно-
сти, имеем
{Аг+1, Дтл+i} =0, (6.34)
где hk-ц, k=-оо,..., оо-локальные интегралы движения модели SG,
построенные в § 4.
3. Канонические переменные типа действие - угол. Из приведенных в
предыдущем пункте формул следует, что набор переменных
Р (Л.) = --Ц-1п (i - I & (Л.) I2), ср(Я) = -агбб(Я), (6.35) где ?.>0 и
Pi = -1пхЛ (7, = In | у,|, (6.36)
V
5*= - - ln|A*|, ri* = In j v* I, (6.37)
V
2
Р*=-arg Я*, cpft = argYft, ^ = 1,. ..,nl + я2, (6.38)
Y
§ 6. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ SG
385
является каноническим. Неисчезающие скобки Пуассона этих переменных имеют
вид
{р (К), ф (ц)}=б (К-р), Я, р>0, (6.39)
{Pi, Qi} =Stj, {Ik, т],} = {p", ф,} =бы, (6.40)
где I, /= 1,. . ., tic, k, /="!+1,..., rti + rt2-
Области изменения переменных р(Я) и pfe имеют вид О^р(Я,) <оо и 0^р),<я/^
соответственно; они играют роль переменных типа действие, сопряженных
к угловым переменным
ф(Я) и фк, О^ф(Я), фк<2я. Отметим, что переменная р(Я) несингулярна в
силу условия (А) и свойства Ь(0)=0. Переменные
Pi, и |k, тр меняются на всей вещественной оси.
Подчеркнем, что, в отличие от рассмотренных ранее примеров, переменные
(6.35) - (6.38) не полностью параметризуют и-солитонное подмногообразие
фазового пространства модели. Для его описания следует дополнительно
задать величины Ej= = ±1, - топологические заряды солитонов. Таким
образом, подмногообразие фазового пространства, содержащее til солитонов
и пг двойных солитонов, состоит из 2"1 компонент связности.
Итак, отображение ?Г, рассмотренное в § 4-5, является каноническим
преобразованием. Оно линеаризует динамику модели SG. Действительно,
локальные интегралы движения /21+1 зависят только от переменных типа
действие:
Sign (21 + 1) I2l+l = - 2у Гр(Я)Я;М dX + g e-(Hn)vi'j _
i 2+1 /=1
n,+n, 0-i+mik
- -2 e~ 2 sin^^vpk, l = - oo,...,oo. (6.41)
21 + 1 k=n,+l 2
Поэтому все высшие уравнения SG
^ = {/,л}, -|?- = {/,ф}, (6.42)
ot dt
где
/ = ^ sign (21 -f- 1) cu+1I2l+1, (6.43)
t
являются вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами и их временная
динамика дается формулами
b (Я, t) = (Я, 0), Я, (0 = Я/ (0), {6А4)
Vi (0 = e_3lYAV'y/ (0), / = 1,..., п,
где Ш = 2 sign (21+1) 0/+1Я2/+1. (6.45)
I
386 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
В частности, выбирая с_!=-cl=ml(4'f) и полагая остальные c2;+i=0, мы
получим в качестве I гамильтониан модели SG, и формулы (6.44) - (6.45)
перейдут в знакомые выражения (4.73).
Перейдем теперь к интерпретации независимых мод модели SG в терминах
релятивистской теории поля. Для этого удобно вместо переменных (6.35) -
(6.38) ввести другой канонический набор, явно отражающий лоренц-
ковариантный характер возбуждений модели. Именно, положим
- - оо</г<оо, (6.46)
Ф(?) = Ф(Ч*)), p(k) = -*^Lp(l(k)), (6.47)
ал
где K(k) - обратная функция к k(K):
X(k) = - (Yk2 + m2 - k) (6.48)
m
Psi == -- sh yp/, QSf =------------ , / = 1,..., "j; (6.49)
V m ch yPj
Pbk = - sh A sin -f pft, Qbk =---------------------^----------,
(6.50)
v 2 2 ylk y
mch sin pt
2 2
где k=til +1,..., ", + "2. Ясно, что переменные p(&), cp(&), P.}, Q,h
Pbk, Qbk и pk, ф,, также являются каноническими. Используя формулы (4.99)
- (4.100), (6.41) и (6.46) - (6.50), для импульса Р и гамильтониана Я
