Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(6.104)
где производящая функция S получается из (6.94) - (6.95) заменой
переменных (6.49) - (6.50).
На этом мы заканчиваем изложение модели SG в лабораторных координатах х,
t
дР дх2 р 1 т .
Она представляет собой уникальный пример вполне интегрируемой модели
релятивистской теории поля, имеющей богатый спектр возбуждений и
содержательную факторизованную теорию рассеяния.
394 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ '
§ 7. Модель SG в координатах светового конуса
Уравнение SG часто рассматривают в координатах светово-
го конуса
" t -f X t-X .
"-• ,, = -• <7Л)
в которых оно принимает вид
д3% . тг
д1дц Р
sinP% = 0. (7.2)
Локально уравнения (7.2) и (6.105) эквивалентны и их решения переходят
друг в друга при замене переменных
Х(?,т1) = (р(?-ть5 + Л). = (7-3)
Однако менее тривиальной является задача об описании связи классов
решений, соответствующих различным граничным условиям. Мы дадим здесь
параметризацию класса решений /(?, ц), отвечающих быстроубывающим
граничным условиям для решения ф(х, t).
Решение задачи (7.2) естественно параметризовать начальными данными на
одной из характеристик, например, при т]=0:
Х.(1)=Х(?, 11) |ч=о. (7.4)
роубыващие гран
х(!)
Быстроубыващие граничные условия Imod-^M для функции
V Р /
lim X (?) = 0, lim X (?) = , (7.5)
?-"-оо J-м-эо р
где граничные значения принимаются в смысле Шварца, a Q - целое,
позволяют ввести топологический заряд
Q.= - Г (7.6)
2я J dl У
-ОС
Однако, как мы убедимся в этом ниже, начальные данные х(?Ь порожденные
решением <f(x,t) с быстроубывающими граничными условиями, удовлетворяют,
помимо (7.5), еще бесконечной серии условий. Они, в частности, означают,
что при |?|->оо убывают также и все производные решения %(!. г]) по т]
при ц = 0:
.. апх(?-ч) lim -----------
= 0. (7.7)
Т)=в
§ 7. МОДЕЛЬ SG В КООРДИНАТАХ СВЕТОВОГО КОНУСА
395
Последние можно записать в виде
Qn=J Fn(l,t)dt = 0, /1=1,2,..., (7.8)
-С(c)
где Fn неявно определяется следующим образом:
Fn С/, s) = - sin рх | (7.9)
dr)
Правая часть (7.9) может быть выражена через начальные дан-ные х(&) при
по.мощи соотношений
д дк7. т2 З*-1 . о Li 1 /7
sin Рх, k=\,...,n- 1, (7.10)
dl д\)к Р д^'1
последовательны.м интегрирование.м по %. В частности,
?
F, = sin рх (g), F2 = -m2 cos Рх (s) J sin Рх (Г) d?'. (7.11)
-DO
Сходные условия возникают при рассмотрении высших уравнений SG в
координатах светового конуса. Мы не будем здесь описывать их явно в
терминах начальных данных х(1)- Ниже мы охарактеризуем их в терминах
данных вспомогательной линейной задачи.
Отметим, что в линейном пределе
J?A- + m*X = 0 (7.12)
ЗЕот]
соответствующие условия принимают вид
J snx(r)ag=o, n = o,i,..., (7.13)
-ОС
так что преобразование Фурье функции х(ь) исчезает в нуле вместе со всеми
производными.
Опишем теперь гамильтонову картину, связанную с уравнением SG
в координатах светового конуса и параметризации
х(1). Пуассонова структура формально задается скобками Пуассона
{х (Б), X (Б')} = 4- s'ign (Б-Г), (7.14)
а фазовое пространство образовано функциями х(1)> удовлетворяющими
условию (7.5) и отмеченным выше связям. Гамиль-
396
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
тониан модели имеет вид
оо
H = 2~V I О-*"!*(r))*.
(7.15)
и уравнения движения
совпадают с (7.2). Роль импульса играет функционал
(7.16)
(7.17)
Наличие связей не влияет на вид уравнений движения (7.16). Можно
проверить, что связи находятся в инволюции как с гамильтонианом Я, так и
с импульсом Р на "поверхности связей". Ниже мы убедимся, что эта
охарактеризованная весьма неявно пуассонова структура индуцируется
стандартной пуассоновой структурой в переменных я(дг), ф(дс).
Перейдем теперь к формулировке основных утверждений этого параграфа.
I. Пусть %(!>т))-решение уравнения (7.2), удовлетворяющее условию (7.5) и
сформулированным выше связям. Тогда формула (7.3) дает решение ф(х, /)
уравнения (6.105) в классе быстроубывающих начальных данных
Топологические заряды решений у и ф совпадают.
II. Пусть ф(х, t)-решение уравнения (6.105) с быстроубы-вающими
граничными условиями. Тогда формула (7.3) дает решение %(g, ц) уравнения
(7.2) с начальными данными
удовлетворяющими условию (7.5) и связям. Топологические заряды этих
решений совпадают.
Сформулированные утверждения означают совпадение классов решений
уравнения SG, параметризованных начальными данными я(х), ф(х) в
лабораторных координатах и %(|) в координатах светового конуса.
III. Для указанных классов решений имеет место связь гамильтонианов и
импульсов:
ф(*)=х(*/2, -х/2),
(7.18)
(7.19)
х(е)=ф(1> 1).
(7.20)
77(%)=Р(л, ф) +77(я,ф), Р (у) =Р (я, ф) -Я (я, ф).
(7.21)
(7.22)
§ 7. МОДЕЛЬ SG В КООРДИНАТАХ СВЕТОВОГО КОНУСА 397
IV. Пуассоновы структуры (6.1) и (7.14) эквивалентны. На решениях
уравнения SG имеет место соотношение
оо оо
J dt (I) A d% (?) di = j dn (x) A dq> (x) dx, (7.23)
-oo -oo
где штрих обозначает производную по |.
Доказательство утверждений I-IV будет дано при помощи формализма обратной
