Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для доказательства утверждения III рассмотрим 1-форму наВД
Форма со замкнута на решениях уравнения SG в силу закона сохранения
энергии - импульса
Проинтегрируем ее по замкнутому контуру I в (хД)-плоскости,
ограничивающему два прямоугольных треугольника, изображенных на рис. 3.
дается формулой (7.3), а я(хД)=^-(хД). Из асимптотик (7.51) - (7.52)
следует
(7.54)
(7.55)
(7.56)
" = (h + Р) dx - (h + р - (1 - cos |3ф)j dt, (7.57)
где
(7.59}
dh_
dt
др_ дх '
(7.60)
(7.61)
402 гл. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Имеем
2Х х
G = j* со= j* (fi + p)\t=0dx- (1 - cosPZ (?)) -h*
-2X
-X
где мы использовали, что = . Из быстрого убыва-
ло dt дх
ния функции
д_х_
ал
при 1-
: оо следует, что последние два сла-
гаемых в (7.62) исчезают при X->-оо, и в пределе мы получаем равенство
(7.21). Равенство (7.22) доказывается аналогично.
Для доказательства утверждения IV рассмотрим эволюцию вариации dq>
решения ф. Она дается линеаризованным уравнением
jL^E д _j_ m2 со р ^ _q
dt2 dx2
из которого следует замкнутость 1-формы 0,
6 = [d ^dt ^ ^Ф) dX + (d Sjt ^ d(f) dt'
на R2. Интегрируя ее по контуру I, получаем
]{ddfAd,f)Ldx=]idwAdi,:
(7.63)
(7.64)
dt, (7.65)
что и доказывает равенство (7.23).
Итак, мы установили эквивалентность моделей, порождаемых уравнением SG в
лабораторных координатах и координатах светового конуса, как на уровне
уравнений движения и гра-
§ 8. УРАВНЕНИЕ Л-Л КАК УНИВЕРСАЛЬНАЯ ИНТЕГРИРУЕМАЯ МОДЕЛЬ 403
ничных условии, так и в рамках их естественной гамильтоновой
интерпретации. В частности, обе эти модели являются вполне интегрируемыми
и описываются одним и тем же набором канонических переменных типа
действие - угол.
§ 8. Уравнение J1 - JI как универсальная интегрируемая модель с двумерным
вспомогательным пространством
Модель Л - Л описывается уравнениями движения
^-"^Лтт + ЗдД (8-1)
dt дх2
где J - диагональная матрица, /=diag(/1, У2,У3), У1<У2<У3-
Соответствующие матрицы U и V из представления нулевой кри-
визны имеют вид
3
и (X, /Д) = -у 2 иа (/¦) Sa0a, (8.2)
V (х, t, к) = 2щ (к) и2 (к) "з (к) V - А- оа +
0=1
3 dS"
1
Н Г У, ua{fyZabcSb- ^о* (8*3)
i дх
a,btc= 1
где
и1(Я) = р"^Ьг' ,/2(Я) = р^7Нг' и*(к) = рТ^ (8'4>
sn (Л, k) sn (Л, k) sn (A., k)
и
р = 1/7^Г77>0, о<л = (8.5)
2 J з - J i
(см. § 1.1).
В отличие от рассмотренных ранее примеров моделей НШ,
МГ и SG, где спектральный параметр к пробегает всю комп-
лексную плоскость С, для модели Л - Л естественной областью изменения к
является эллиптическая кривая - тор?= С/Г, где Г - решетка с образующими
4К и 4iK'. Здесь К и К' - полные эллиптические интегралы модулей k и
k'=^\-k2 соответственно. В результате исследование прямой и обратной
задач для вспомогательной линейной задачи модели Л - Л оказывается
технически более громоздким, и мы не будем его здесь приводить, а
ограничимся лишь рядом замечаний кинематического характера. Именно, мы
покажем, что модель Л - Л допускает /¦-матричную формулировку, и опишем
предельные переходы, приводящие к моделям МГ, НШ и SG.
404 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Начнем с гамильтоновой формулировки. Рассмотрим основные скобки Пуассона
модели Л - Л
{Se(jf), S6("/)}=-eatcSc(x)8(x-у) (8.6)
и запишем их в терминах матрицы U(х, Я)
3
{U (х, /.) э U (у, и)} = 2 е^Па (^)и" (.и)W (°а (r) °*) &(Х -у).
a,b,c=1
(8.7)
Наша цель состоит в том, чтобы представить правую часть (8.7) в виде
следующего коммутатора:
[г(Я, р), U(x,k)(r)I+I(r)U(x, р)]6(х-у).
Для этого воспользуемся теоремами сложения для эллиптических функций
Якоби. В терминах функций иа(к) они приводят к тождествам
иа (Я) иь (р,) =иа {к-р) "с (р) - Щ (к-р) ис(к), (8.8)
где набор (а, Ь, с) является циклической перестановкой индексов 1, 2, 3.
Из формул (8.7) - (8.8) немедленно получаем фундаментальные скобки
Пуассона модели Л - JI
{U (х, К)(r) U (у, р)} = [r(k- р), U (х Д) (r) / + / (c) U (х, р)] б (х - у),
(8.9)
где матрица г (к) имеет вид
3
Г (к) = - -j ^ иа (к) Оа 0 Оа. (8.10)
0=1
Формулы (8.8) показывают также, что матрица г (к) удовлетворяет
уравнениям
г(-к)=- Рг(к)Р (8.11)
и
[г 12(к-р), г13(Я) + г2з(р) ] + [г 13 (Я), Г2з(р)]=0 (8.12)
(см. § III.1 части I), которые обеспечивают совместность скобок Пуассона
(8.9) со свойством антисимметрии и тождеством Якоби. На самом деле (8.10)
представляет собой общее решение уравнений (8.11) - (8.12) для случая
матриц 4x4. Более подробно об этом будет сказано в гл. IV, где будет
показано, что фазовое пространство матриц U(х, к) интерпретируется как
простейшая орбита подходящей бесконечномерной алгебры Ли.
Убедимся теперь, что рассмотренные выше интегрируемые модели с двумерным
вспомогательным пространством и мини-
§ 8. УРАВНЕНИЕ Л -Л КАК УНИВЕРСАЛЬНАЯ ИНТЕГРИРУЕМАЯ МОДЕЛЬ 405
мальным дивизором полюсов получаются из модели Л - Л различными
предельными переходами.
Простейший из них отвечает случаю 6-vO, при котором K-voо, К'-^п/2 и
эллиптическая кривая Е. вырождается в рациональную кривую - цилиндр С/-~
