Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 130

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 180 >> Следующая

1. При этом эллиптические функции Якоби переходят в тригонометрические:
sn(?u, сп (Л, ?)^>cos/i, с!п(л, 6)^1. (8.13)
Б результате приходим к частично анизотропной модели МГ - частному случаю
модели Л - Л, отвечающему условию /1=/2< </3. Представление нулевой
кривизны для этой модели и г-матрица получаются из формул (8.3) - (8.4) и
(8.10) в результате замены (8.13). Полагая в полученной r-матрице K=ia и
р=ij, приходим к выражению (6.14) для r-матрицы модели SG с точностью до
несущественного слагаемого, пропорционального матрице /(g)/.
Полностью изотропная модель Л - Л - модель МГ - появляется в результате
предела р->-0, при котором /2-*-/3- Заменяя в соответствующих формулах
для частично анизотропной модели МГ К на 2рД и переходя к пределу р->-0,
получаем представление нулевой кривизны (1.1.14) и г-матрицу (3.9) для
модели МГ.
Таким образом, модель Л - Л является наиболее общей моделью магнетика,
допускающей r-матричную формулировку.
Теперь мы покажем, что модели SG и НШ также получаются предельными
переходами из модели Л - Л. Тем самым эта модель действительно является
универсальной для интегрируемых систем с двумерным фазовым пространством
при фиксированном х. Мы не выбрали ее в качестве основной модели для этой
книги только потому, что ее исследование технически сложнее по сравнению
с моделью НШ.
При переходе к моделям SG и НШ, помимо вырождения эллиптической кривой Е,
участвует контракция фазового пространства модели Л-Л. Она основана на
еще не использованной нами свободе в описании фазового пространства,
состоящей в
следующем: вместо сферы радиуса 1 в R3, на которой меняется ->
вектор 5(х), мы можем рассматривать сферу произвольного радиуса R>0;
кроме того, в пуассоновой структуре (8.6) мы можем выбирать произвольную
"константу связи" ц>0
{5а (*), Sb (у)} =-r]Eaf,c5c (*) б (х-у). (8.14)
Конечно, при фиксированных R и ц этот произвол можно устранить
растяжением 5 и заменой независимой переменной х. Однако в пределах R-
+oо, или ц-vO, которые мы будем использовать ниже, такая замена
неестественна.
406
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Итак, будем считать, что переменные 5 (а:) меняются на сфере радиуса R:
и имеют скобки Пуассона (8.14). При этом r-матрица в (8.9) отличается от
(8.10) на множитель ц, и в представлении нулевой кривизны следует
модифицировать матрицу V: второе слагаемое в (8.3) следует поделить на
R2.
Рассмотрим переход к модели SG и начнем с уравнений движения. Совершим в
(8.16) замену переменных S (х, /)^л(х, /), Ф(х,/) по формулам
После этого несложно убедиться, что в уравнении (8.16) в новых переменных
можно перейти к пределу R^-oо, и оно превращается в уравнение SG
Для осуществления предельного перехода R^oo в представлении нулевой
кривизны удобно сделать сдвиг спектрального параметра Х=а + К, так что
5* (х) = R2,
(8.15)
удовлетворяют уравнению
(8.16)
(8.17)
где р>0, и выберем параметры У,, ]2, J, в виде /*=/, + ], /3=/2+т2/Я2.
(8.18)
(8.19)
(8.20)
~ k'
"а(а) = и2(а + К) = р ---- ,
cn (a, k)
(8.21)
u3(a) = u3{a + K) = - pk' Sn ~
cn (а, k)
(8.22)
Используя равенства
sn (а, 1) = th а, сп (а, 1) = dn (а, 1) =
ch а
(8.23)
и вытекающие из (8.5), (8.18) формулы
(8.24)
§ 8. УРАВНЕНИЕ Л -Л КАК УНИВЕРСАЛЬНАЯ ИНТЕГРИРУЕМАЯ МОДЕЛЬ 407
для коэффициентов к"(а) получаем следующие асимптотики при R-roo
u1(a) = ^ + 0[^j, (8.25)
"2 (а) = ~ ch а + 0 (у) . (8-26)
17з(а)=-^зЬа+0Ш- (8-27)
Подставим теперь эти формулы и выражения (8.17) для Sa в
(8.2) и модифицированную формулу (8.3) и перейдем к пределу /?-> оо. В
результате мы получим представление нулевой кривизны для модели SG,
которое после автоморфизма матриц Паули
0!1-"-о3, Ог^-Оь а3"-о, (8.28)
и замены К=еа совпадает с формулами (1.1.30) - (1.1.32).
Стандартная пуассонова структура модели SG получается из скобок Пуассона
(8.14) с r\=fis/4 в результате замены переменных (8.17) и предельного
перехода R->-оо. Как отмечалось выше, множитель р2/4 появляется и в r-
матрице; используя формулу (8.23) и автоморфизм (8.28), мы получаем из
нее г-матрицу модели SG (с точностью до несущественного слагаемого,
пропорционального матрице /(r)/).
Рассмотрим теперь переход к уравнению НШ. Будем считать, что /?=1, и
использовать предельный переход ц->-0. Положим
(S. + iS-j) (х, /)=)'2цегш/^(х, /), (8.29)
S3 (х, t) =1/1-2Л |Ц: (д:, ОГ, (8.30)
;t=/2, J3=J- 2х/ц, (8.31)
где х>0 - новый параметр. Подставляя эти формулы в уравнение (8.1) и
переходя к пределу т|-"-0, мы получим, что функция гр(дс, /)
удовлетворяет уравнению НШ
• = + 2х[фРф. (8.32)
dt дх3 1 1 v
Для предельного перехода в представлении нулевой кривизны частично
анизотропной модели МГ удобно положить Х=а + + я/2, так что
"! (а) = и, (а) = и1 ) = "* (а + у) = У ~ ~^/cos а' ^8'33^
и3 (а) = и3 = - У- tgа. (8.34)
408
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Еще раз полагая а = - у ---А, подставим формулы

(8.29) - (8.30) и (8.33) - (8.34) в (8.2) - (8.3), совершим
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed