Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 131

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 180 >> Следующая

калибровочное преобразование с матрицей ехр-^-а3и перейдем
к пределу т|-"-0. Как нетрудно убедиться, в результате мы получим
представление нулевой кривизны для модели НШ из § 1.2 части I.
Стандартная пуассонова структура модели НШ получается, с использованием
формул (8.29) - (8.30), из скобок Пуассона
(8.14) при г)->-0. В этом же пределе мы получим r-матрпцу модели НШ
из § III. 1 части I (с точностью до несущественного единичного
слагаемого).
Геометрический смысл приведенных контракций фазового пространства модели
Л - Л очевиден. При фиксированном х динамические переменные модели Л - Л
лежат на сфере S2 и скобки Пуассона (8.6) порождаются симплектической
структурой- формой площади на S2. Соответствующие фазовые пространства
моделей SG и НШ суть цилиндр S 'XlR' и плоскость R2. Эти многообразия
получаются контракцией сферы S2 при растяжении полосы вдоль выделенного
меридиана и круговой шапочки на северном полюсе соответственно. Формы
площади на S1xtR1 иК2 и определяют снмплектические структуры для моделей
SG и НШ.
На этом мы заканчиваем конкретное описание непрерывных интегрируемых
моделей. В гл. IV мы еще вернемся к их общему рассмотрению и
классификации с ли-алгебраической точки зрения.
§ 9. Комментарии и литературные указания
1) Метод обратной задачи для модели МГ был развит в работе [2.57]. Полная
интегрируемость этой модели в быстроубывающем случае была установлена в
работах [2.20], [2.47]; в частности, в [2.47] были приведены канонические
переменные типа действие - угол. Связь пуассоновых структур моделей МГ и
НШ при калибровочном преобразовании отмечалась в [2.27].
2) Метод обратной задачи для модели SG в лабораторных координатах был
сформулирован в работах [2.18], [2.36]. В [2.36-2.37] была доказана
полная интегрируемость модели, приведены канонические переменные типа
действие - угол и интерпретация спектра возбуждений в терминах
релятивистской теории поля. Выражение для генератора лоренцевых вращений
К через переменные действие - угол было дано в работе [2.44].
3) Модель SG в координатах светового конуса была проинтегрирована с
помощью метода обратной задачи в работах [2.35], [2.43]. Установлению
связей моделей SG в лабораторных координатах и координатах светового
конуса посвящены работы [2.38], [2.49]. Формулировка связей (7.8) и
доказательство эквивалентности гамильтоновых картин для этих моделей
приведены в [2.38].
§ 9. КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
409
4) Уравнение SG в координатах светового конуса, записанное в эволюционном
виде по отношению к параметру rj:
S
ду rr,I2 С
Т^==-~7~ sinpxd ')dl', (9.1)
<Эп р J
является нелокальным. Поэтому класс быстроубывающих начальных данных не
сохраняется в динамике. Полная система связей из § 7 выделяет из этого
класса начальных данных подмножество, инвариантное по отношению к
динамике для всех высших уравнений SG
С
ду 2т С 6/_"
- = - - -------dl', "=1,2, ... (9.2
бл Р2 J Sx(l') -
- ОО
Эти связи определяются процедурой, аналогичной изложенной в § 7.
5) Для плотностей интегралов движения jjj ] модели SG в лабораторных
координатах, вычисленных на решениях уравнений движения, выполняются
соотношения
dJ!l) dJ<n)
-- = -- , п - -ос, . . ., оо, п = 1 (mod 2). (9.3)
dt дх
Здесь /п0) (х, t)-полиномы от функций tp(.v, t), л(х, t) и их
производных
по х, просто определяемые из представления нулевой кривизны
(см., напри-
мер, [2.14]). Из (9.3) имеем
^(^+^') = |(^0)-4Г). (9.4)
и поэтому (см, § 7)
ОС ОО
J J'n\t^dx = J (Jf + \^dl. (9.5)
- оо - оо
дх
Выражения J("+> (у) =/"0> (л, ср) +А1* (л, ф) локальны по у и - ;
нелокаль-
от|
ность интегралов движения J^ (х) модели SG в координатах светового конуса
при п<-1 объясняется тем, что для таких п из (л, ф) +J^ (л, ф)
ду
приходится исключать функцию -при помощи уравнения (9.1).
511
6) Описанная в § 7 связь гамильтоновых картин для модели SG в
лабораторных координатах и координатах светового конуса является весьма
общей; в частности, она имеет место для моделей главного кирального поля
и л-поля.
7) Уравнение
д2ф <32ф т2
^-^г+Т5Ьрф==0 (96>
в быстроубывающем случае исследуется буквально аналогично уравнению SG
после замены 0-м'Р во вспомогательной линейной задаче (4.1). При этом
последняя становится формально самосопряженной и коэффициент а(к) не
имеет нулей. Тем самым модель, описываемая уравнением (9.6), не имеет
соли-тонов. В этом смысле взаимоотношение моделей (9.6) и SG такое же,
как и моделей НШ в быстроубывающем случае при к>0 и х<0 соответственно.
410
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
8) В некотором смысле аналогами солитонов модели SG являются сингулярные
решения уравнения (9.6). По поводу общего подхода к сингулярным решениям
и их частицеподобной интерпретации см. обзор [2.54]. Вариант метода
обратной задачи для построения сингулярных решений нелинейных уравнений
изложен в работах [2.1-2.3].
9) Асимптотики решений уравнения SG при t-*-± оо в лабораторных
координатах и т]-"-±оо в координатах светового конуса были получены в
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed