Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 132

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 180 >> Следующая

работах [2.19], [2.22]. Соответствующие асимптотики для двумеризованной
модели Тода, включающие, в частности, уравнение (9.6), были получены в
работе [2.34].
10) Как и для модели НШ, для моделей МГ и SG можно определить иерархии
пуассоновых структур. Порождающие их Л-операторы приведены в работах
[2.52], [2.48] и [2.50], соответственно.
11) Представление нулевой кривизны для модели J1-Л было получено в
работах [2.11] и [2.56]. В [2.56] была исследована вспомогательная
линейная задача для быстроубывающих граничных условий и введены
переменные типа действие-угол. Подчеркнем, что в работе [2.56] на примере
модели Л-Л впервые появилось понятие (классической) г-матрицы.
12) По поводу обозначений и свойств эллиптических функций Якоби см.,
например, [2.39].
13) Обратная задача для модели Л-Л как матричная задача Римана на
эллиптической кривой была сформулирована и исследована в работах [2.53],
[2.55], в которых были описаны и я-солитонные решения.
В [2.55] также обсуждалась матричная задача Римана на произвольной
алгебраической кривой (компактной римановой поверхностй).
14) Конструкция солитонных решений уравнения Л-Л при помощи процедуры
одевания приведена в работах [2.6], [2.8], [2.10].
15) Конечнозонные решения уравнения SG как в лабораторных координатах,
так и в координатах светового конуса были получены в работах [2.21],
[2.23]. Алгебро-геометрическое решение проблемы вещественности было
приведено в [2.41], а в терминах явных тэта-функциональных формул - в
работах [2.4] (двузонный случай) и [2.15] (общий случай). По поводу общей
проблемы вещественности в конечнозонном интегрировании см. работу [2.33].
16) Общее алгебро-геометрическое описание конечнозонных решений уравнения
Л-Л приведено в [2.42]. Явная конструкция, выражающая эти решения в
терминах тэта-функций, была дана в работах [2.5], [2.7] для частично
анизотропной модели МГ, а в работах [2.9], [2.45] - для уравнения Л-Л.
Уравнение Л-Л выделено с точки зрения конечнозонного интегрирования тем,
что участвующая в этом методе алгебраическая кривая Г является двулистным
накрытием эллиптической кривой, а не комплексной плоскости, как это было
для моделей с рациональной зависимостью от спектрального параметра.
Поэтому вместо тэта-функций Римана в окончательных формулах для
конечнозонных решений появляются тэта-функции Прима [2.9], [2.46].
17) По поводу конструкции конечнозонных решений общего уравнения нулевой
кривизны с рациональной зависимостью от спектрального параметра, помимо
упомянутых выше работ, см. также обзоры [2.16], [2.24-2.25].
18) Уравнение Л-Л связано с интегрируемыми системами классической
механики. В работе [2.13] показано, что стационарные (т. е. не зависящие
от t) решения уравнения Л-Л являются решениями задачи Неймана о движении
частицы на двумерной сфере, а решения, зависящие только от комбинации х-
vt, отвечают интегрируемому случаю задачи Клебша о движении твердого тела
в жидкости. Явные формулы для этих решений в терминах тэта-функций Прима
приведены в [2.9].
19) Полная интегрируемость перечисленных в гл. II моделей: модели КдФ,
векторной модели НШ, модели N-воли и SO (N)-модели SG (для характерного
случая N-3) с быстроубывающими граничными условиями была доказана,
соответственно, в работах [2.17], [2.30], [2.31] и [2.12], где и были
введены канонические переменные типа действие - угол.
§ 9. КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ 411
20) В векторной модели НШ солитоны имеют поляризацию, которая, вообще
говоря, меняется в процессе взаимодействия [2.32]. Однако теория
рассеяния солитонов по-прежнему является факторизованной [2.26], [2.29].
21) Модели, приведенные в § 1.2, допускают r-матричную формулировку:
[U (х, %)(r)и (х, р)}= [г (%, р), U (х,%) S / + 1 (r) U (х, р)] 8(х-у); (9.7)
>
п(п - 1)
здесь для векторной модели НШ с п цветами и модели N = ----------------
-волн
г (Я,, р) =г(Я-р), где
г(Х) = - у.^- (9.8)
и
= J (9-9)
соответственно, а Р - матрица перестановки в (Qn(r)C(tm) (см- [2.28]). Для
дву-меризованной модели Тода имеем
Г{%'")=-?г^Л (9-Ю)
Р ) i=i ^ Р оь
(см. [2.51]). Здесь а пробегает все корни алгебры Ли Ап-<, р(а)=1, ...
..., п-1-высота корня а по mod л, а Hi, Еа - базис Картана - Вейля
алгебры Ли Ап-1.
22) Основные скобки Пуассона (1.3.15) модели КдФ содержат производную 6-
функции (неультралокальный случай), поэтому скобки Пуассона {U(x, >.) (r)
U(у, р)} не представляются в виде (9.7). Последнее относится и к
модели SG в координатах светового конуса. Однако скобки Пуассона для
матриц перехода этих моделей уже представляются в привычном виде:
{Т(х, у, 1)(r)Т(х, у, р)} = ["¦(>., р), Т(х, у, Х)(r)Т(х, у, р)], у^х (9.11)
(см. [2.40]), где для модели КдФ
<9Л2>
а г-матрицы моделей SG в лабораторных координатах и координатах светового
конуса совпадают.
Глава III
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
Здесь мы приведем полный список результатов по поводу модели Тода -
фундаментальной модели на решетке. Мы покажем, что к ней применим r-
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed