Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
получаем выражения
оо Пг rti+rt*
Р= j kpWdk+S р"+ S Pbk (6-51>
-ОС /=1 k=nl'rl
И
OO rt, rt,+rtt ________________________
H= 5 Yk2+ m2p(k)dk + ^ Yp;i + Ml+ 2 1rpbk + M*k,
-30 /= l k=nl+1
(6.52)
где
Ms = - , = - sin ^ p*. (6.53)
V V 2
Приведенные формулы представляют собой суммы по независимым модам и
допускают наглядную теоретико-полевую интерпретацию.
Первые слагаемые в формулах (6.51)-(6.52) интерпретируются в терминах
волнового пакета мод непрерывного спектра
§ 6. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ SG
337
с плотностью р(?). Отдельная мода с номером k описывает частицу с
импульсом и энергией
p = k, h = Y k1 -f m2, (6.54)
связанных релятивистским законом дисперсии
h2=p2 + m2. (6.55)
Эта частица имеет нулевой топологический заряд. Другими словами, эти
моды.описывают нейтральную релятивистскую частицу с массой т.
Вторые слагаемые представляют собой вклад от солитонов, которые
соответствуют заряженной (с топологическим зарядом Q=± 1) релятивистской
частице с массой Ма.
Третьи слагаемые в этих формулах отвечают двойным соли-тонам. Последние
соответствуют нейтральной релятивистской частице с внутренними степенями
свободы. Ее масса Мь зависит от обобщенного импульса внутреннего движения
р по формуле (6.53) и меняется от нуля до удвоенной массы солитона. Такую
частицу можно интерпретировать как релятивистское связанное состояние
солитона и антисолитона.
Таким образом, спектр возбуждений модели SG является весьма богатым и
описывает несколько сортов частиц. Стандартные соображения теории
возмущений связывали бы с нашей моделью лишь частицы первого типа,
отвечающие линеаризованному уравнению SG в окрестности ср=0
*2----+ о (65б)
дР дх2
т. е. уравнению Клейна - Гордона.
Появление в спектре возбуждений солитонов, антисолитонов и их связанных
состояний произошло исключительно благодаря специальному (в своем роде
уникальному) виду нелинейного взаимодействия. В линейном пределе [}->0
солитоны и двойные солитоны превращаются в решения с бесконечной энергией
и уходят из спектра возбуждений.
В заключение этого пункта отметим, что при сгущении нулей К к
вещественной оси двойные солитоны переходят в моды непрерывного спектра.
Именно, если предположить, что
, , WW . . . . .. с_
= , k = nx +I,.. .,пг + п2, (6.57)
Tig
где при "2->оо вещественные числа рл равномерно заполняют положительную
полуось, то третьи слагаемые в выражении
(6.41) для локальных интегралов движения /21+1 при переходят в первые
слагаемые, отвечающие непрерывному спектру.
388 1'Л. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
4. Реализация алгебры Ли группы Пуанкаре в терминах переменных типа
действие - угол. В предыдущем пункте мы выразили генераторы сдвигов по х
и t - импульс Р и гамильтониан Я - через канонические переменные типа
действие - угол. Здесь мы выразим через них генератор лоренцевых вращений
К (см. § 1.1). С этой целью вычислим все вариационные производные
генератора К по отношению к переменным (6.35) - (6.38). Ясно, что для
этого достаточно вычислить скобки Пуассона коэффициентов перехода и
дискретного спектра с функционалом К..
Для любого функционала F положим
8F={K,F}, (6.58)
вводя тем самым вариацию вдоль К. Имеем (см. § 1.1)
6ф(х)=хя(х), (6.59)
бя(х) = х(-^-2-------- sin Рф] + . (6.60)
v \ дх2 р ) дх
Отсюда и из явного вида матриц U и V в представлении нулевой кривизны из
§ 1.1 получаем
&U(x,K)= x - - x[U,V] + JLJ5La (6.61)
дх 4i дх
Вычислим теперь вариацию &Т(х, у, X) матрицы перехода
вспомогательной линейной задачи модели SG. Имеем, используя (4.1) и
(6.61):
-2-bT = U(x,K)&T + 6U (хД)Г =
дх
= UbT + x-^-T - xUVT + xVUT+-^--^-aaT =
дх 4i дх
= U6T+ x-T + xV --XUVT + -V дц> о3Т =¦
^дх дх К дх
= UbT+ х - (VT) - xUVT + - J^ алТ, (6.62)
дх 4 i дх
ИЛИ
- (6Г - xVT) = U(6T - xVT) - (v--------L JSL or ) т\ (6.63)
dx \ 4i dx J
Далее, дифференцируя уравнение (4.1) по 1 и опять используя явный вид
матриц U и V, получаем
Л--Т = и - + - T = U~ + - (V (6.64)
дхдЪ дЪ дХ dl X V М дх л)
§ 6. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ SG 389
благодаря чему уравнение (6.63) переписывается в виде
JL (вт - xVT + Я -) = U (х, Я) (бТ - xVT + k -). (6.65)
дх \ дк j \ дк j
Это уравнение совпадает с уравнением вспомогательной линейной задачи для
нашей модели, и таким образом,
6T - xV(x,X)T + X~=TC(y,X). (6.66)
дк
Используя граничное условие Т(х,у,Х) [*="=/, получаем, что
С(уЛ)=-уУ(уЛ), (6.67)
и окончательное выражение для 67' имеет вид бГ (х, у, Я) = *1/ (х, Я) Т
(х, у, Я) - уТ (х, у, Я) V (у, Я) - Я (х, у, Я).
ОА
(6.68)
Переходя к соответствующим пределам, получаем выражения для вариаций
решений Поста
6Т± (х, Я) = xV (х, Я) Т± (х, Я) - Я-ГЛЧ-' - (6.69)
дк
и приведенной матрицы монодромии
6Г(Я) = - Я -(Я). (6.70)
дк
Отсюда получаем формулы
6а(Я) = -Я-§-(Я), 6Ь (Я) = - Я (Я) (6.71)
аА аА
Н
6Я;=ЯЬ бк,=0, У=1,.... я, (6.72)
из которых следует, что
с, m л йф ч 6К /п нг>\
390
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
6g* = -1?-, (6.77)
