Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 119

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 180 >> Следующая

Введем матрицу ?22(х)
О? (х)=&(- ст3)п> G+ {х, 0) Г1 = 8 (- a3)niG- (х, 0) Г1 (5.44) и
убедимся, что она диагональна. Действительно, инволюции
Gl(x,X) = G_(x,X) (5.45)
и
G+ (х, -Х)=б± (х, X) (5.46)
вместе с условием
G+ (х, 0) G_ (х, 0) = / (5.47)
означают, что матрица G + (x, 0) унитарна и вещественна, т. е.
ортогональна. Ее определитель дается формулой
det G+ (х, 0) = а (0) = (-1)л', (5.48)
так что матрица (-a3)n'G+(x, 0) унимодулярна, т. е.
(-a,)".0,(^,0) = fc""W (5.49)
\sin а (x) cos а (дг) /
§ 5. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ SG 365
и специальный вид матрицы & приводит к тому, что
QP(x) = ela<x)o,' (5.50)
Рассмотрим теперь асимптотику матрицы Q2(x) при х-*~оо. Аналогично
рассуждениям в § 11.2 части I можно показать, что
( m F(k)
UmG(x,X) = laM ~^е - (5-51)
\ 0 1 / откуда, в частности, получаем
limG(x, 0) = (-о3)п\ (5.52)
д:-^-эо
так что
lim Q2 (х) = /. (5.53)
X->-оо
Поэтому матрица й(х) однозначно определяется как непрерывный,
диагональный квадратный корень из матрицы ,Q2(ас), удовлетворяющий
условию (5.29).
Теперь очевидно, что матрицы
G+ (х, X) = G+ (х, X) ГДГ1 (х), (5.54
G_(x,X) = Q(x)&G_(x,X) (5.55)
дают решение задачи Римана для модели SG в терминах зада-
чи Римана со стандартной нормировкой.
Для вывода дифференциального уравнения вспомогательной линейной задачи из
п. И" перепишем задачу Римана (5.28) в виде (5.2) и продифференцируем его
по х. Мы получим, что
U (х, X) = рI1 (х, X) = dF~{х'l)- FZ1 (х, X). (5.56)
дх дх
Стандартным образом заключаем отсюда, что U(х, X) является целой
матрицей-функцией. Из (5.17) - (5.20) следует, что при
| X J >'ОО
и (х,Х) = ^ Q (X) аяQ -1 (х) + С0 (х) + О (5.57)
и при А,-"-0
U (х,Х) = - ?2-1 (х) а2Q (х) + С0 (х) + О (| X |). (5.58)
4IX
Отсюда на основании теоремы Лиувилля заключаем, что
и (х, Х)= С (х)+Q (*) a2Q 1 (х) - - Q1 (х) <таQ (х), (5.59) 4 ? ах
366
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
где
С(х) = С0(х)=С0(х). (5.60)
Определим теперь матричную структуру матрицы С{х). Из (5.10) - (5.11)
и теоремы единственности получаем, что для решений G±(x, X)
справедливы инволюции (5.14) - (5.15), откуда
U*(x,l) = - U(x,I), (5.61)
U (х, - к) = в-JJ (х, X) а1г (5.62)
так что
С*(х)=-С(х). (5.63)
и
С (х) = огС (х) а±. (5.64)
Это позволяет ввести вещественнозначную функцию л (а) по формуле
С(х) =-^-я(х) а3. (5.65)
4 i
2
Полагая <f(x)=~a(x), убеждаемся, что матрица U (х, X) при-Р
нимает вид (5.30).
Доказательство утверждений п. Ill"-IV" проводится аналогично § 11.2 части
I.
Как и в случае моделей НШ и МГ, временная динамика
(4.73) коэффициентов перехода приводит к представлению нулевой
кривизны модели SG. Это доказывает, что построенные по таким
коэффициентам перехода функции ф(х, t) и п(х, t) =
= д-(х, t) удовлетворяют уравнению SG.
dt
2. Формализм Гельфанда - Левитана - Марченко. Этот подход к решению
обратной задачи также основан на формуле (5.1), которая теперь
переписывается в виде равенств
1 rpW /v 3 \ /v \\ I * \ 'Н'Л
а (к)
71 (х, X) = Т+ (х, X) + г (X) 7f (х, X) (5.66)
где
7f (х, X) = г (X) Г? (х, X) + 7l2) (х, X), (5.67)
а (А)
г(Х) = Ь(Х)/а(Х), У (X) ~ Ь(Х)/а(Х). (5.68)
Вместо преобразования Фурье, использовавшегося для моделей
НШ и МГ в быстроубывающем случае, мы воспользуемся
интегральными преобразованиями, порождаемыми ядром
§ 5. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ SG 367
exp ^ j xj , которые уже встречались нам при исследовании случая конечной
плотности для модели НШ (см. § II.7 части I). Соответствующие соотношения
полноты имеют вид
[ е1 ' dX = ^S(x), (5.69)
J т
-ОО
1 \ оо ml (. 1 \
^ е* Г' 1 )хТТ - 0) ^ е 4 V л Г-^ = ^-й(х). (5.70)
-ОО -ОО
Для вывода системы интегральных уравнений Гельфанда - Левитана - Марченко
для правого конца рассмотрим соотношение (5.66), записанное в терминах
матриц Т±(х, X), и совершим следующие преобразования. Подставим в него
представления (4.28) - (4.29), умножим обе части получившегося
равенст-
ва последовательно на exp ^ j-) г/j, у exp ^ - -j-j l/j
и проинтегрируем по X от -оо до оо. Используя формулы (5.69) - (5.70),
свойства аналитичности решений Поста и инволюции
(4.30) - (4.31), окончательно получаем:
ОО
Г+> (х, у) + К{:\х + у)+\ Г+> (х, г) КТ (г + у) dz +
X
оо
+ 5 г12) (х, Z) К{Т (2 + у) dz =0, (5.71)
X
оо
Г+* {х, у) + КТ' (х + у) + ^ тт (х, z) К'Т (г + у) dz +
X
оо
+ $Г|2)(х, z)K(T (z + y)dz=-.0, у>х, (5.72)
X
где
l(rJ (X) = ik'T2> (X) а3, КТ (х) = k? (х) ах, (5.73)
а
00 mi(\1\r utt) t \ m Г п \ 1 I л I dX .
П ^
+ Сд2 ' 'Г Ч)~. / = 0,1,2, (5.74)
4i . К:
J=1 1
363
ГЛ. И. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
И
(5.75)
Точка в (5.75) означает производную по К.
Аналогичным образом из (5.67) получаем систему интегральных уравнений
Гельфанда - Левитана - Марченко для левого конца:
Отметим, что в силу инволюций (4.54), (4.62) функции ?(?>2)(х)
Опишем теперь процедуру решения обратной задачи.
Исходными данными являются функции г (К), г (К) и набор чисел fa, rrij,
fhj, /=1, ..., п}, удовлетворяющие следующим свойствам.
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed