Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
при V-"-0, где
?=Ff(,' ',)• <5-21>
IV. Матрицы G+(x, X) и G-(x, X) невырожденны в своих областях
аналитичности, за исключением точек X-Xj и X-Xj соот-
ветственно, где
lm G+(x,X;) = N(f] (х), (5.22)
Ker G_ (х, Xj) = (х), j= 1 п. (5.23)
Здесь iV/+) (х) и N{j~}(x)-одномерные подпространства в С2" натянутые
соответственно на векторы
Подпространства (х) удовлетворяют инволюциям
Nf] (х) = Nf] (х) (5.24)
для /=1, ...,"! м
N{k%)ni(x) = N{k±)(x) (5.25)
для k=nl+l, ..., ni+n^. Здесь черта означает операцию комплексного
сопряжения s С2.
Отличие приведенных свойств I-IV от таковых для моделей НШ и МГ состоит в
наличии двух точек нормировки: А,=0 и Х= =оо (см. (5.17) -(5.20)) и
дополнительной инволюции Х<->--Х (см. (5.11), (5.15) -(5.16), (5.24)-
(5.25)).
362 гл- П. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Перейдем теперь к решению обратной задачи. Предположим, что нам заданы
положительные параметры пг, (3, функции Ь(Х), Ь(Х) и набор чисел Xj, Xj,
Чь Ть /=1> ¦••> с0 следующими свойствами:
V. Функция b (X) принадлежит пространству Шварца, исчезает при А,=0
вместе со всеми производными, удовлетворяет неравенству
1 6 (л) 1 < 1 (5.26)
и инволюции
Ь(-Х)=Ъ(к). (5.27)
1Г. Среди чисел Xj нет совпадающих, причем Xj=i%j, х;>0 для j=l, ..., щ и
Xh+n=-Xh, Im Xh, Re A*>0, k=nl+ 1, .д1 + "2, где n=nl + 2n2. При этом
0, j= 1, ..., nu и ?=*
= nl-\- 1, . . . , nt + nz.
Построим по этим данным матрицу G(x, X), удовлетворяющую условиям I, и
набор подпространств N{j±}(x), удовлетворяющих (5.24) -(5.25). Задача
Римана параметризуется переменной .V и выглядит следующим образом:
G(x, X) = G+(xr X) G_(x, А,). (5.2а;
Здесь матрицы-функции G±(x, X) допускают аналитические продолжение в
области drlmX^tO, удовлетворяют там условиям (5.22) -(5.23) и в точках
Х=0 и Х=оо нормированы согласно
(5.17) - (5.20), где Q заменено на nt, a Q(x) - подлежащая
определению непрерывная диагональная матрица-функция, причем
lim Q (х) = /. (5.29)
д:->-оо
Таким образом, условия нормировки задачи Римана для модели SG
нетривиальны: фиксируются не значения матриц-функций G±(x, X) в особых
точках, а лишь оговаривается их матричная структура.
Утверждается следующее.
I". Сформулированная задача Римана однозначно разрешима.
П". Матрицы F±(x, X), построенные по решениям G±(x, X) по формулам (5.6)
-(5.7), удовлетворяют уравнению вспомогательной линейной задачи
-jr1=¦17 (р" w'+m (х+т)si"+
+ пг - -^-j cos cr2j F± (х, Я.), (5.30)
§ 5. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ SO 363
где л(х) и ф(х) - вещественнозначные функции, причем
Q(x) = e 4 (5.31)
III". Функции п{х), ср(х) удовлетворяют быстроубывающим граничным
условиям
О тт
lim л(х) = 0, Нтф(х) = 0, lim ф(х) = - Q, (5.32)
1JC1-ОО ДГ-^ + ОО Р
где Q - целое число, Q="! (mod 2).
IV". Функции а (Я) и Ь(Х), где а (Я) задается формулой (4.64), являются
коэффициентами перехода вспомогательной линейной задачи (5.30); ее
дискретный спектр состоит из значений Хи ... . .. , Я", Хи . .., Я" с
коэффициентами перехода ..., ц1г ... . .., Матрицы F±(x, X) составлены из
решений Йоста Т±(х, X) вспомогательной линейной задачи по формулам (5.3)
-(5.4). Прокомментируем доказательства этих утверждений. Теорема
единственности для задачи Римана доказывается при помощи теоремы
Лиувилля. Именно, пусть G±(x, X) и G±(x, X) - два решения (5.28). При
вещественных X имеем
Ф (х, X) (х, X) G, (х, X) = G_ (х, X) GZ1 (х, X). (5.33)
Стандартным образом убеждаемся, что функция Ф(х, Я) не имеет особенностей
при Я=Я5, X, и поэтому является целой. Из
(5.17) -(5.20) следует, что
Ф (х, Я) |,.=э = Й'1 (х) й (х) (5.34)
и
Ф(х, Я) |>=со=й(х)Й_1(х), (5.35)
откуда (теорема Лиувилля)
ф (х, Я) = Й'1 (х)Г> (х) =й (х) й-1 (х), (5.36)
т. е.
Й2 (х) = й2 (х). (5.37)
Используя (5.29) и диагональность, непрерывность и невырожденность матриц
й(х), й(х), заключаем, что
Й(х) = Й(х), (5.38
откуда
G± (х, Я) =G± (х, Я). (5.39)
Отметим, что при доказательстве мы использовали условие
(5.29), т. е. рассматривали сразу все семейство задач Римана
(5.28), параметризованное переменной х. При фиксированном
364 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
х задача Римана типа (5.28) очевидно имеет, наряду с G±(x, X), и решение
-G±(x, X).
Для доказательства теоремы существования мы покажем, как наша задача
Римана сводится к задаче Римана с единичной нормировкой при Х=оо,
изученной в § 11.2 части I.
Пусть матрицы G±(x, X) дают решение следующей задачи Римана:
G (х, X) = G+ (х, X) G_ (х, X), (5.40)
где G(x, X) - матрица из задачи Римана (5.28) и
а) матрицы G±(x, X) аналитически продолжаются в полуплоскости rfclm Х^О и
нормированы на / при Х=оо
6±(*Д)=/+о(-^-); (5.41)
б) матрицы G±(x, X) невырожденны всюду, за исключением точек Х=Х; и Х=Х;
соответственно, где
lmG+(x,Xf) = N(;) (х), (5.42)
KerG. (х, Xj) = N? (х), / = 1 п, (5.43)
а числа Xj, Х} и подпространства Nj±)(x) взяты из задачи Римана (5.28).
В § I1.2 части I мы показали, что сформулированная задача Римана
однозначно разрешима.
