Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
I. Функции г(%), г(Х) являются функциями типа Шварца, исчезают при Х=0
вместе со всеми производными, удовлетворяют инволюции
X
г!1' (*, у)+ку (х+у)+ 5 ri11 (х, z) ку (2+у) dz+
- ОО
X
+ J Г12) (х, 2) кУ (z + y)dz -0, (5.76)
-00
X
Г-' (х, у) + КУ (х + у)+ J Г-1' (х, z) К'У (z + y)dz +
-оо
X
+ ^Т{У (х,г)К{У(г + у)<к = 0, у^х, (5.77)
где
1(У2) (х) = - t?°-2) (х) а3, /СУ (х) = кУ (х) аь (5.78)
a
и
т/ =
У]0 (V
(5.80)
и ~ k(1± (х) вещественнозначны.
г(- Х)~г(Х), г(-Х)=г(Х)
(5.81)
§ 5. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ SG
36"
(5.83>
и соотношению
|г(Я) | = |г(Я) |. (5.82)
II. Имеет место формула связи
~г (>¦) _ а (Я) г (Я) а (Я) где
а(Я)=П ^ схр (-L Г ]n (' + | г (и.) П J 5 84> У я - я, 2ш- J я - р + ;о '
v
/- 1 - ЭО '
а попарно несовпадающие числа Я; расположены в верхней полуплоскости
симметрично относительно мнимой оси: и,->
>0, 1=1, ..., пц Я*+п2'= -К, 1тЯ", ReXfc>0, k = nl + \, ..., п,+
+ Л2) П = П1~\-2П2.
III. Величины ms, in,¦ удовлетворяют соотношению
Щ(tm)1 = , / = 1 л, (5.85)"
и условиям mj=-nij, inj=-mj, /= 1, ..., яр, mk+n=-mh, mh+n=*
=-k=Hi-\-1, .. ., Wi+л2.
Построим по этим данным ядра К(±(х), 1=0, 1, 2, и рассмотрим системы
интегральных уравнений (5.71) - (5.72) и.
(5.76) - (5.77). Справедливы следующие утверждения.
Г. Системы (5.71) -(5.72) и (5.76) - (5.77) однозначно разрешимы в
пространствах L[2X2) (х, оо) и L(2X2) ( -оо, х) соответственно. Их
решения - ядра Г(1'2) {х, у) - удовлетворяют инволюциям (4.30) -(4.31) и
являются функциями типа Шварца при X, у-*-±оо.
1Г. Построенные по Г(+ 2>(х, у) с помощью формул (4.28) -
(4.29) матрицы Т±(х, Я) удовлетворяют дифференциальным, уравнениям
dт± (X, *> = J_ /р0± {х) а3 + -^<т2---- о;-' (A')a2QL(A') )
Т± (х, Я),
dx 4i V 4i 4iX
(5.86)i
где
0± (х) <т3 = ± (а2Г^ (х, х) а2 - Г'? (х, х)) (5.87)*
4 ?
й? (х) o2Q% (х)= (Г(Д> (х, х) а2 ± -J-/ j а2 (Г^ (дг, /| 1
(5.88>
(сравни с формулами (4.35) - (4.36)).
'370
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
ПГ. Функции Q±(x) вещественнозначны, матрицы й±(х) диагональны, унитарны
и унимодулярны и
lim 0 + (а:)=О, lim Q* (х) = I, (5.89)
Х-<"±оо Х->±оо
где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
IV'. Имеют место формулы связи
е+ (х) = 0. (X) = 0 (х), (х) = Qi (х) = Q4 (X). (5.90)
Нормируя матрицу Q (х) условием
lim Q(x) = /
Х->-оо
м полагая
Q (х) = е 4 ', я (х) = 0 (х) - f
dx
¦-для матриц-функций
Т±(х, X)=Q(x)T±(x, X)
получаем дифференциальное уравнение dT ^ (х, X)
-^------ = U (х, X) Т± (х, X)
dx
.с матрицей U(x,X) вида (4.1). Функции я(х) и <р(х) удовлетворяют
граничным условиям (4.2), где Q = "i(mod 2).
V'. Функции а(Х) и b (X) =а(Х) г(Х) являются коэффициентами перехода
вспомогательной линейной задачи (5.94). Дискретный спектр этой задачи
состоит из собственных значений Xh X; с коэффициентами перехода где
rii=tnja(Xj), /= 1, .. . , п.
Прокомментируем доказательства этих утверждений.
Пункт Г, свойства (5.89) и формула связи (5.90) доказываются по схеме из
§ II.7 части I. Поэтому мы ограничимся доказательством пункта 1Г и
свойств матриц й±(х), специфических для модели SG.
Рассмотрим, для определенности, систему (5.76) - (5.77), где для
сокращения записи мы не будем писать значок - у Т11,2) (х, у), (х,
у), Q-(x) и fi.(x). Покажем, что матрицы
Г<1,2)(я, у) удовлетворяют системе (4.32)- (4.33), где функция Q(x) и
матрица Q(x) даются, соответственно, формулами (5.87) и (5.88), причем
участвующая в (5.88) матрица Г(2)(х, х)а2-
- -/ невырожденна. Отсюда будет следовать справедливость 41
дифференциального уравнения (5.86).
Для доказательства продифференцируем уравнения (5.76) - .(5.77) по х и у.
Используя интегрирование по частям и вытека-
(5.91)
(5.92)
(5.93)
(5.94)
§ 5. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ SG 374
ющие из (5.78) -(5.79) формулы
dK
(х) =-yr<J2 (К(0) (х) - К(2) (х)) (5.95)
dx 41
И
(х) = -?- <т2 (K^ix) - К(1) (X)), (5.96)
dx 4i
где
Kl~l) (х) =&(_1) (х) сг" (5.97)*
a k(~l)(x) дается формулой (5.79) с /=-1, мы получим
У) + <у2Кы) (х + у) + Г;1) (х, х) K(i) (х + у) + дх 4i
г аР1'
+ В (х) а2К(1 (х + у) + j -- (х, z) Км (z + y)dz +
-со
* аГ*2*
+ -- (X, г) К(1) (г + у) dz = 0, (5.98)*
J дх
- со
г5Г<->
(X, У)+ ^ о2К(0) (х + У) + Г(1) (X, х) К(1) (х + у) +
дх 4i
i"
+ В (х) а2К(1) (х + у) + j ¦ дх -(х, г) Ка) (г + у) dz +
-со
f, яг(-'>
+ j ¦ дх - (X, z) K(i) (2 + у) dz = 0, (5.99)!
- оо
где
В{х) = Ти) (х,х)о2-(5.100).
и
аг(1)
(х, у) + -J7 1 (х + у) + Г(1) (х, х) К1о) (х
+ у) +
ду 41
х. аг
+ В (х) а2к(1) (х+у) - j -- (х, г) К(я) (г + у) dz -
- со
* яг(2)
- j -- (х, z)K(1) (г + y)dz = 0, (5.101>
-оо
372 ГЛ. И. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
¦ -(*, у) +-JT <4^<0) (X + у) +г!1) (X, х) К(1) (х + у) +
ду 41
* агГ1)
+В (х) OoK^ (X + у) - J dz -(X, г) К(1) (г + у) dz -
- J ¦ д~д2 (х, г) К{-} (г + у) dz= 0. (5.102)
-со
Умножим уравнение (5.101) слева и справа на матрицу а2 и сложим с (5.98).
Используя антикоммутативность матриц Kw (х) и сг2 и определение (5.87),
