Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
при Соотношение инволюции (4.54) для комплексных к
принимает вид
а(-к)=а(к). (4.58)
Аналогичное представление для Ь(к)
Ъ (к) = det (Т{У (х, к), Т(1> (х, к)) (4.59)
показывает, что функция Ь(к) является функцией типа Шварца и при Х=0
исчезает вместе со всеми своими производными. В общем случае Ь(к) не
допускает аналитического продолжения с вещественной оси. Такое
продолжение возможно, если функции <р(л;) и я (л;) совпадают со своими
асимптотиками при |л;|>*7 для некоторого q>0. При этом коэффициенты
перехода а(к) и Ь(к) регулярны в области С \{0} и имеют существенные
особенности в точках Л=0 и к=оо.
354 гл. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Как и в случае моделей МГ и НШ, при к<0 мы наложим условие (А),
означающее, что
\Ь(к)\<1 (4.60)
и нули к,-, /= 1 п, функции а (к) (их конечное число) - простые. В силу
(4.58) они расположены симметрично относительно мнимой оси и поэтому
состоят из чисто мнимых нулей kj=
-ixj, х;>0, /= 1 пи и симметричных пар кк, kk+n=-kh,
Im кк, Re >^>0, k=tii+ 1, ..., п^п2, где n=n1+2n2.
Числа к}, к} образуют дискретный спектр вспомогательной линейной задачи
(4.1). Соответствующие им коэффициенты перехода вводятся соотношениями
Т(У (X, к;) = У/ГУ (X, kf), j = 1 П. (4.61) .
При этом
7/ = Т/./= 1. • •"В Ук = Чк+п2, k = n1+ 1 пх + п2. (4.62)
В случае, когда Ь(к) допускает аналитическое продолжение на С\{0}, имеем
Чз=Ь(к}), /=1....п. (4.63)
Функция а (к) однозначно определяется по коэффициенту Ь(к) и нулям ki кп.
Соответствующее дисперсионное соотношение имеет привычный вид
а(к) = Г] "ff2 х
/= 1 "И 1Л1 к=п,+1 ^ -К 'к + "Кк
xexpjj-?yi=riitinJ. (4.64)
2лI J [I - к-Ю
V -ОО '
Отсюда, в частности, следует, что
а (0) = (- 1) (4.65)
или
Q = nt (mod 2). (4.66)
Итак, мы описали отображение Т: (л (х), ср (л:)) У+(Ь (к), Ь (к)', К;, кь
кк,
У/, Ук, У к, / = 1...n1;k=n1 + 1 пх + п2) (4.67)
от функций п{х) и tp(x) к коэффициентам перехода и дискретному спектру
вспомогательной линейной задачи (4.1). В следующем параграфе мы убедимся,
что отображение является
обратимым, а в § 6 с его помощью построим каноническое преобразование к
переменным типа действие - угол модели SG.
§ 4. линейная задача для МОДЕЛИ SG 355
3. Временная динамика коэффициентов перехода. Здесь мы определим
эволюцию коэффициентов перехода, когда участвующие во вспомогательной
линейной задаче функции ф(х, t) и
п(х, t) = -(x, t) удовлетворяют уравнению SG. Для этого вос-dt
пользуемся вытекающим из представления нулевой кривизны эволюционным
уравнением для матрицы перехода
(х, у, к) = V (X, к) Т (х, у,к) - Т (х, у, к) V (у, к), (4.68)
at
где
(см. § 1.1). Имеем
Нш Е'+ (х, к) V (х, /, к)Е± (х, к) =
ДГ-"±оо
= (~')Qw (к + f) lim Е±г (х, к) о2Е± (х,к) = (*¦ +(4-70)
4( \ к ]х^±00 4( \ к /
откуда, переходя в (4.68) к пределам при у-+±оо, х-^+оо, получаем
эволюционные уравнения для решений Иоста
дТ±(*' к)- = V (х, к) Т± (х, к) - (к + ±) Т± (х, к) о3 (4.71)
dt 41 \ A, j
и приведенной матрицы монодромии
д-Чг ^ Т- (* + т)[СТз> т (я)]- (4-72)
dt 41 \ к}
Таким образом, зависимость от t коэффициентов перехода дается следующими
формулами:
^ г)'
а (к, t) -а (к, 0), Ъ (к, t)=e ' х b (к, 0),
(4.73)
иL (t.+-) t
kj{t) = k;{0), yj(t)=e2\' Ч/ Т/.(0), /=1.....п.
Отметим, что условие исчезновения со всеми производными
коэффициента Ь(к) при Х = 0 согласовано с динамикой уравне-
ния SG.
Как уже стало привычным, в быстроубывающем случае роль производящей
функции интегралов движения играет коэффициент а(к). Закончим этот
параграф описанием процедуры построения локальных интегралов движения.
356 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
4. Локальные интегралы движения. Особенность модели SG проявляется в
том, что она имеет две серии локальных интегралов движения, получающиеся
в результате асимптотического разложения приведенной матрицы монодромии
Т(к) в полюсах Х=оо и Х=0.
Начнем с асимптотического разложения матрицы перехода Т(х, у, к) при |Х|-
>оо. .Совершим калибровочное преобразование с матрицей :
Т (х, у, к) =Q (х) Т (х, у, к) (4.74)
и представим матрицу Т(х, у, к) в виде
Т(х, у, k) = (I+W(x, k))exVZ(x, у, к) (I+W (у, к))~1 (4.75)
(mod 0(|Х|~°°)), где матрица W(x, к) антидиагональиа, а Z (х, у, к) -
диагональна и удовлетворяет условию
Z(x,y,k)\x=y = 0. (4.76)
Из уравнения (4.25) следует, что
X
z(х, у, к) - j (Р0 (*') <г3 + ГП (ко2 - J o2el^>'x',cj u? (x't y'j dx't
(4.77)
а матрица W(x, к) удовлетворяет дифференциальному уравнению типа Риккати
- = -2- 0ст31Р + - к (о2 - Wo2W) - (ff - Гогае"*ЧР).
dx 2 ? 4 i 4 ik
(4.78)
Матрица Щх, к) допускает асимптотическое разложение вида
00 W (х\
1,7 (*•*¦) = 2-^' <4-79)
п^=о
где
\F0(x)=ia1 (4.80)
и
Wn+1 (х) = 2-^l .dWn {х) - № wn (х)+
m dx m
+ (X) OjWw-b (x) -±2V* (x) aiew*^n .x_* (x) -
ft-1 ft=o
-^ n = 0, 1,... (4.81)
§ 4. ЛИНЕИНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ SG 357
1
Соответствующее разложение для Z(x, у, А,) имеет вид
г,, ,. тХ (х - у) .-~Zn(x,y)
Z (х, У, Ц = -~------------------°з + " J ---------------- . (4.82)
