Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Е± {х, X) = о2Е± (х, X) а2, (4.15)
Е±(х, - Х) = - о3Е±(х,Х)о2, (4.16)
Е±(х,-Х) = - ioxE ± (х, X). (4.17)
При вещественных решения Поста Т± (х, X) определяются как пределы
Т± (х, X) = lim Т (х, у, Х)Е± {у, X). (4.18)
у~±±оо
Матрицы Т±(х, X) унимодулярны, удовлетворяют дифференциальному уравнению
(4.1) и соотношениям инволюции
Т±(х, X) = о2Т± (х, X) о2, (4.19)
~Т± (х, -Х) = - iaj± (х, X). (4.20)
При д:-"-±оо они соответственно имеют асимптотики
7'±(дс,>,)=?±(*Д)+о(1). (4.21)
350 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Для описания аналитических свойств решений Иоста в окрестности к=оо
удобно совершить калибровочное преобразование с тем, чтобы коэффициент
при к во вспомогательной линейной задаче стал независящим от х. Для этого
запишем уравнение (4.1) в виде
'Е* = (№-о3 + - Qo^ST1 - - Г+, (4.22)
dx ( 4t 3 M i Ш ! j v '
где
Q(x)=e 4 (4.23)
и положим
T± (x, k) =Q (x) T± (x, k). (4.24)
Матрицы T±(x, к) удовлетворяют дифференциальному уравне-
нию
^ = U(x,k)T±, (4.25)
dx
где
U (*, к) = Ua~' (х, к) = ^-д(х)о3 + ^-о2 Q'2 (х) atQ2 (х) (4.26)
41 41 4 гк
0 (х) = я (х) + (х). (4.27)
dx
Решения Т±(х, к) имеют интегральные представления, аналогичные таковым
для моделей НШ и МГ:
оо со
tv -АП" % \ An J L Г ГИ ^ v;
(4.28)
7\ (х, к) = Е(х,к)+\ Г+ (х, у) Е (у, к) *У + ^\ ГГ (*, у) Е {у, к) dy
Т_ (х, к) = Е (х, к) + j г!'' (х, у) Е (у, k)dy + j-^ Г12) (х, у) Е(у, к)
dy.
-оо - оо
(4.29)
Для ядер Г± (х, у), 1= 1,2, справедливы инволюции
Г(4'2) = сгаГ ±'2)сг2 • (4.30)
Т(Е = стГ^ст,, = - стД^'ст,, (4.31)
так что матрицы Г(± диагональны, а Г(r) - антидиагональны. Они
удовлетворяют следующим системам дифференциальных
§ 4. линейная задача для МОДЕЛИ SG
351
уравнении в частных производных:
ar!i> arw peW (1)
-(х, у) + ст2-- (х, у) сг2 - ог3Гу (х, у) -
дх ду 41
-^г{ог- Q-2 (х) ct2Q2 (х)) r(i'(X, у) = 0, (4.32) 41
+ Q-. м w _ Ш. а3г(* ^ у) -
дх ду 41
- (<ra - ?Г2 (х) ct2Q2 (х)) Г± (х, г/) = О (4.33) 4 (
при ±(г/-х)>0 и граничным условиям
lim Г(? (*,?) = О, /=1,2, (4.34)
^->±о=
Г± (х, х) - ст2Г!± (х, х) ст2 = =р 0 (х) ст3, (4.35)
4(
(х, х) - Q-2 (х) ct2Q2 (х) Г!' (х, х) ст2 = ± - '(^2 (х) ct2Q2 (х) - ст2)
4i 1
(4.36)
Формулы (4.32) - (4.36) получаются в результате подстановки интегральных
представлений (4.28) -(4.29) в дифференциальное уравнение (4.25).
Связь между интегральными представлениями (4.28) -(4.29) и
дифференциальными уравнениями (4.32) -(4.36) взаимно однозначна. Эти
дифференциальные уравнения легко связать с вольтерровскими интегральными
уравнениями и, тем самым, доказать существование решений Йоста и их
интегральных представлений.
Для столбцов Т+ (х, 1), 1=1, 2, матриц Т±(х, к) имеем следующие свойства:
столбцы Т-* (х, X) и Т+} (х, X) аналитически продолжаются в верхнюю
полуплоскость переменной к, а столбцы Т+} (х, к) и Т'У (х, к) - в нижнюю
полуплоскость и имеют асимптотики при | Я, | -"-сю
1> =Fr0<4') + °(дг)' (4'37)
Яго*
е''^'<*-*>=рИЧ)+0(ш) (4-38)
352 гл. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
при Im Х^О и
+ (4.39)
(х, X) = (х) Q + о (4.40)
при Im л^О.
Аналогично исследуется окрестность точки Х=0. Как видно из (4.22), для
этого следовало бы совершить калибровочное преобразование с матрицей
Q(x). Однако вместо этого можно воспользоваться соотношением (4.9). В
результате при имеем следующие асимптотики:
тх
e^TL1] (х, X) = jj СГ1 (х) j! ) + 0(\Х j), (4.41)
_ тх q
е~ ^ T(:} (x, X) = Q'1 (x) (' j + 0 (\X I) (4.42)
при Im X^O и
mx 1\Q
Tl1} (x, X) = Q_1 {x) (jj + OflM). (4.43)
- 1 /*\
i T- (x, X) = yl Q'1 (x) (;) + 0 (\X |) (4.44)
при Im Я^О.
Формулы (4.37) - (4.44) согласованы с асимптотиками (4.21) и граничными
условиями (4.2). Инволюции (4.19) - (4.20) для комплексных значений X
принимают вид
Г'±' (*, X) = 1агГ$ (х, X), (4.45)
Г*' (х, X) = - ia2T(V (х, X), (4.46)
Т(±;) (х, -Х) = - io^2' (х, X), (4.47)
где X лежит в соответствующих областях аналитичности.
2. Приведенная матрица монодромии и коэффициенты перехода.
Приведенная матрица монодромии при вещественных X=?*
=5^0 определяется как отношение решений Йоста
т (X) = г;1 (х, X) Т_ (х, X) (4.48)
и может быть представлена в виде предела
Т (X) = lim El1 (х, X) Т (х, у, X) Е_ (у, X). (4.49)
Х-*+оо
у-^-оо
§ 4. линейная задача для МОДЕЛИ SG 353
Матрица Т (к) унимодулярна и удовлетворяет соотношениям инволюции
Т (к) = о2Т(к)ог (4.50)
и
Т(- к) = Т(к). (4.51)
Она представляется в привычном виде
7М = (а(Х) , (4.52)
\Ь(к) а (к) )
где коэффициенты перехода непрерывного спектра а (к) и Ь(к) удовлетворяют
соотношению нормировки
|a(A,)|*+|W|2=l (4.53)
и условиям
а (-1) = а (к), b(-k)=b(k). (4.54)
Обратим внимание на дополнительное свойство (4.54) коэффициентов
перехода, которое появилось благодаря инволюции
(4.8).
Для функции а (к) имеем представление
а (к) = det (Т(У (х, к), Т? (х, к)), (4.55)
из которого следует, что она аналитически продолжается в верхнюю
полуплоскость и имеет асимптотики
a(b)=l+0(JLl) (4.56)
при 1 А,|-*-оо и
aa) = (-l)e+0(|M) (4-57)
