Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
для матрицы 5(х). Вместо этого сразу перейдем к описанию ее временной
динамики. С этой целью, в соответствии с формулами (1.65), заменим у3(х)
на у3(х, t):
у,- (х, t) = e^'iy; {х), / = 1, п. (2.94)
Получающееся выражение S(x, t) называется п-солитонным решением. При Ж±оо
в ситуации общего положения оно распадается в сумму пространственно
разделенных солитонов:
S (х, t) 2 Щ±] (х, t) - (п - 1) S0 + О (е-Ф1). (2.95)
/-1
О ?(+)/ (±) (±)
Здесь Ь) \x,t) -солитоны с параметрами uh v3,x0j , cp0/ , определяемыми
формулами (2.81) по данным А;-, где
У?' = Т/ ГТ ft . Ж*. Ц ft. f/=^_ (2.96)
°k<°i К f k vk>vi k A - ''k
и
тр=т, ц ft. hzh. П ft. _Ж_, (2,97)
°k<°f k A- К vk>vi К t k
1 -*
a c= - min"/min \v3 - uj и 50=(О, 0. 1)- Ситуация общего
2 /V k
положения означает, что все скорости v3 различны. Для доказательства этих
формул достаточно воспользоваться результатами § II.5 части I.
Действительно, там было показано, что при f->± оо на траектории С}
х - v3t=const (2.98)
матрица П(х, t, А,) имеет асимптотику
П ^ 0 \
П (х, t, А) =| h к%д,А)+0(Ж1),
±(vk-vj)<o А - Ад, / (2.99)
где множитель Бляшке - Потапова (х, t, А) определяется
по параметрам Aj,
тГ = т/ П П (2Л0°)
±(vrvk)>0 А/ А* ±(Vj-Vk)<о А/ Aft
а на траекториях, отличных от С}, /= 1, .. ., п, матрица П(х, /, А)
диагональна с точностью до 0(е~м). Полагая в (2.99) А=0, получаем искомые
формулы (2.95) - (2.97).
340
ГЛ. И. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Полученные формулы описывают теорию рассеяния солитонов модели МГ.
В процессе рассеяния меняются только координаты центров и фаз солитонов
*3 = хоУ + Ф^ = + Афо/,
где
и
2 in
Im'V \vk<vf
Х{ - xk
Xj - xk
- 2 In
vk>v;
Xj - xk
Xj - xk
(2.101)
(2.102)
Афо/ = 2 ( 2 ('arg ^ + 2 arg A,*') -
- 2
Vk>Vj
arg
^-- + 2argA* ) )(mod2jr). (2.103)
Xj-Xk JJ
Эти формулы отличаются от соответствующих выражений для модели НШ в §
II.5 части I наличием дополнительных слагаемых ±2avgXh. Их интерпретация
совершенно аналогична таковой для модели НШ в быстроубывающем случае.
§ 3. Гамильтонова формулировка модели МГ
Здесь мы покажем, что наша модель является вполне интегрируемой
гамильтоновой системой. Доказательство будет проведено явно путем
построения канонических переменных типа действие - угол. Для этого мы
покажем, что скобки Пуассона модели МГ допускают r-матричную запись, и с
ее помощью вычислим все скобки Пуассона коэффициентов перехода и
дискретного спектра. Мы приведем явное выражение локальных интегралов
движения в терминах переменных типа действие - угол, дадим интерпретацию
возникающих независимых мод и выясним гамильтонов смысл калибровочного
преобразования от модели МГ к модели НШ. В заключение этого параграфа мы
рассмотрим процесс рассеяния солитонов с гамильтоновой точки зрения.
1. Фундаментальные скобки Пуассона и г-матрица. Рассмотрим основные
скобки Пуассона модели МГ
(5а(х), 54(у)}= - EabCSc(x)8(x - у) (3.1)
3
(см. § 1.1) и запишем их в терминах матрицы S (х) = ^ Sa(x)oa•
0=1
3
{S (х) (r) S (у)} = - 2 (*) (aa(r)a*)s (х - у) • (3-2)
' а,Ь.с=1
§ 3. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ МГ 341
Используя формулу умножения для матриц Паули
OaOfj !== ба&7 I ?6аЬс^с (3.3)
и определение матрицы перестановки Р из § III. 1 части I
Я = 1^/(r)/+2ов(r)о^, (3.4)
матрицы оа(r)оь - вь(r)аа, участвующие в правой части (3.2), можно
представить в виде
- Оь(r)оа=tEabcP (1(r)о с - ос(r)1). (3.5)
Поэтому скобка Пуассона (S(x) (r)S(z/)} может быть переписана следующим
образом:
{S (л:) 0 S (у)} = iP (S (х) 0 I - 10 S (х)) Ь(х - у) =
= i[P,S(x)(r)I]b(x-y). (3.6)
Получим теперь выражение для скобок Пуассона коэффи-
Я
циентов вспомогательной линейной задачи U (х, X) =-S(x). Для
этого умножим обе части (3.6) на - Яр/4 и преобразуем правую часть
следующим образом:
^ [Р, S (х) 0 /] = -[Р, U (*, Я) 0 / - U (х, iх) 0 /] =
4i 2 (Я - р)
= о Д-Г 1р,и(хЛ)(r)1 + 1(r)и (х, p)j. (3.7) 2 (Я - (х)
Окончательно отсюда получаем фундаментальные скобки Пуассона для модели
МГ:
{U (х, X) 0 U {у, fi)} = [г (X, fi),U (х, X) 0 I + I 0 U (х, р)] б (х -
у),
(3.8)
где
г^=ш^р- <3-9"
Имеют место формулы связи
гмг (X, р) = ^ г(tm) (X - р) (3.10)
или
г"г(Я,р) = -±^ш (3.11)
так что в переменных 1/Я и 1/р r-матрица модели МГ зависит от разности
аргументов.
342
ГЛ. II. фундаментальные непрерывные модели
В силу общего рассуждения в § III. 1 части I из фундаментальных скобок
Пуассона (3.8) получаем выражение для скобок Пуассона матрицы перехода Т
(х, у, А,):
(х, у,\)(r)Т (х, у, р)}= [г (А, р), Т (х, у, А) (х, у, fx)], (3.12)
где у<х.
2. Скобки Пуассона коэффициентов перехода и дискретного спектра. Из
соотношения (3.12) по аналогии с рассуждениями из § III.6 части I
получаем выражения для скобок Пуассона решений Поста Т±(х, А) и
приведенной матрицы монодромии Т(А):
{Т± (х, A) (g) Т± (х, р)} = zp г (А, р) Т± (х, А) (r) Т± (х, р) ±
± Т± (х, А) (r) Т± (х, р) г;+ (А, р), (3.13)
{7'+(*,А)(r)7_(^И)} = 0, (3.14)
{Т (А) (r) Т (|х)> = г+ (А, р) Т (А) (r) Т (fx) - 7 (А) (r) 7 (fx) г_ (А, р).
