Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 110

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 180 >> Следующая

С(х)= 0, (2.32)
и мы получаем уравнение (2.22). Эрмитовость матрицы S(x) вытекает из
унитарности матриц Q±(x).
Для доказательства оставшихся утверждений в пунктах III"-IV" достаточно
воспользоваться формулами связи для задач Римана моделй МГ и НШ:
Онш(Я)=("" <^МГ(Я) , (2.33)
332
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
И
ОГ (х, Я) = ("о G"r (X, Я) о;1 (A) , (2.34)
СНШ (х, Я) = ("" J) QI1 (х) Ож (х, Я) , (2.35)
где
СВ0 = 0(tm)" (0), | <"01 = 1.
(2.36)
В заключение рассмотрения общих свойств задачи Римана укажем, что, как и
в случае модели НШ, временная динамика коэффициентов перехода приводит к
представлению нулевой кривизны модели МГ. Это дает доказательство того,
что если коэффициенты перехода зависят от времени согласно формулам
(1.64) - (1.65), то построенная по ним матрица S(x, t) удовлетворяет
уравнению МГ.
2. Формализм Гельфанда - Левитана - Марченко. Он также основан на
формуле (2.1), которая теперь переписывается в виде равенств
Переходя в этих соотношениях к преобразованию Фурье и используя
интегральные представления (1.23)--(1.24), свойства аналитичности решений
Йоста и инволюции для ядер Г±(х, у)
получаем интегральные уравнения Гельфанда--Левитана - Марченко для
правого и левого концов:
Г+ (х, у) + о3К (х + у) + ^ Г+ (х, z) К' (z + y)dz = 0 (2.41)
Г_ (х, у) + а3К (х + у)+ ^ Г_ (х, z) К' (z + y)dz = 0. (2.42)
и
-7f (х, Я) = IM т{1] (х, Я) + | 7^ (х, Я), (2.38)
Ка (К) К К
где
(2.39)
Г± (*, У) - - (*. У) ст2.
(2.40)
оо
X
И
-оо
§ 2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ МГ 333
Здесь штрих обозначает производную по аргументу, а матрицы К(х) и К (х)
антидиагональны и имеют вид
( 0 -1(х)\ ~ /о k(x)\
К(х) = [ 'М, К{х) = [ = , (2.43)
\k(x) О ) \-k(x) о )
00 П
k(x) = - V 0^Lenrixl\ (2.44)
2(гц J Я Xt
-со /== 1 '
00 ~ п ~
? (х) =---------- Г e-fW-dx + V e~nlx/t, (2.45)
2 JT( J A . Яг
-Co / = 1 7
где
mi - , •* . , /=1, (2.46)
a (X}) yja (Xj)
и точка означает производную по Я. Сходимость интегралов в
окрестности Я = 0 в этих формулах обеспечивается условием
(2.20).
Отметим, поскольку функции Q±(x) уже использовались нами в п. 1, то мы
обозначаем ядра уравнений Гельфанда - Левитана - Марченко буквами К(х), R
(х).
Имеют место формулы связи
йКж 01 = q-i^hiu (Х) о0' (2.47)
dx
И
jgfrt = КНШ(Д (2.48)
где, конечно, матрицы Кат(х) и 7?нш(х) совпадают соответственно с
матрицами Q(x) и Q (х) из формул (II.4.18) и (II.4.22) части I.
Матрица S (х) выражается через ядра Г±(х, у) по формуле 5(х) = В± (х)
о3В~Ф(х), (2.49)
где
B±(x)=I=FT±(x, x)os. (2.50)
Опишем теперь процедуру решения обратной задачи. Исходными данными
являются функции г (Я), г (Я) и набор чисел {Яу, mh М]у /= 1, ..., п},
удовлетворяющие следующим условиям.
I. Функции г (Я), г (Я) являются функциями типа Шварца, удовлетворяют
условию
г(0) =7(0) =0 (2.51)
334
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
и соотношению
|г(Я)| = |г(Я)|. (2.52)
II. Имеет место формула связи
Г(Я) = а (Я.) г (Я) а (Я)
где функция а (Я) дается выражением
(2.53)
"W = "• П Ы"е1ф{i j "'S.'-il + a14dtl'< <2'54'
/1 V -эо
"0=П^ехр{^|!=Д±1ДД!Д<й1. (2.55)
J -1 ¦* А -ОО ¦'
III. Попарно неравные числа X, удовлетворяют условию 1тЯ|->0, а величины
и ffij удовлетворяют соотношениям
= "Т7ГГ " / = 1. • • • , л. (2-56)
а2 (Я;)
Построим по этим данным ядра К(х), К(х) и рассмотрим интегральные
уравнения (2.41) - (2.42). Справедливы следующие утверждения.
Г. Уравнения (2.41) и (2.42) однозначно разрешимы в пространствах L(X2X2)
(х, оо) и Li2X2> (•-оо, х) соответственно. Их решения- матрицы Г±(*, У)
•-удовлетворяют инволюции (2.40) и являются функциями типа Шварца при х,
у-*-.±оо.
IIх. Построенные по Г±(д:, у) с помощью формул (1.23) - (1.24)
матрицы Т±(х, Я) удовлетворяют дифференциальным
уравнениям
T±(x,X) = ^rS±(x)T±(x,X), (2.57)
dx 2 (
где матрицы 5±(х) даются формулами (2.49) - (2.50).
III'. Матрицы S±(x) эрмитовы, удовлетворяют условиям
trS±(A:) = 0, S'i±(x) = I (2.58)
и
lim 5±(д:) = а3, (2.59)
*-"±оо
где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
IVх. Имеет место формула согласования
S+(x)=S-(x) =S(x). (2.60)
§ 2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ МГ 335
V'. Функции а(Х) и Ь(Х) = а(Х)г(Х) являются коэффициентами перехода
вспомогательной линейной задачи (2.57). Дискретный спектр этой задачи
состоит из собственных значений Xj с коэффициентами перехода ylt yit где
yj=mja(Xj), /= 1, п.
Доказательство этих утверждений проводится по схеме из § II.7 части I.
Поэтому мы ограничимся доказательством утверждения пункта 1Г и свойства
унитарности матриц В±(х), которые являются специфическими для модели МГ.
Рассмотрим, для определенности, уравнения (2.42) и продифференцируем его
по х. Используя формулы (2.47) и (2.50), получаем
дГ(tm)* (х, у) ~нтп С 5Гмг (х, z) ~нп|
~ +В_(х)о3Кнш(х + у)+ Г - } 1 KElu(z +
y)dz=0.
дх J дх
(2.61)
Сравнивая (2.61) с уравнением для ядра Г_ш (х, у)
ГТ (х, у) + КЕШ (х + у) +' J ТГ (х, г) Кнш (г + у) dz = 0 (2.62)
- 30
(см. § II.4 части I), убеждаемся, что
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed