Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(3.15)
Здесь
у. р.
г* (А, р)=^-
1
О
А- (х О О
О п16 (А - р)
О О
О
л?б(А - |х) О
О
v. р.
так что имеют место формулы связи
Ац
r(tm)r(A,fx) = ^r(tm)(A-fx).
А - р
(3.16)
(3.17)
Отсюда получаем следующие выражения для скобок Пуассона коэффициентов
перехода и дискретного спектра:
{a (A), a (fx)} = {a (A), a (fx)} = О, {Ь(Х),Ь(у)} = 0,
{Ь (А), Ь (fx)} = itt'A21 а (А) |2 б (А - р),
{а (А), Ь (fx)} = ¦
2 (Я -- ц -f- ДО)
а (А) b (р),
(п(А),й(|х)} =
Я[х
2 (Я - [х ДО)
а (А) b (р)
(3.18)
(3.19)
(3.20) (3.21)
(3.22)
§ 3. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ МГ
343
а также
{Ь{Ь),У1} = {Ь(Ь),У1} = 0, (3.23)
{^)Л} = {^)Д/} = 0, (3.24)
ЯЯ •
{а (X), у/} - - а (Я,)yj, (3.25)
{а (X), у}} = -а (^) Y/) (3.26)
2 (Я - Я;.)
{^•Д*}^., Хк) =0, (3.27)
{Y/. Y*} = {Y/, Yк) - 0, (3.28)
U/.Y= (3-29)
(Д Y*} = °. / Д = 1, .. ., п. (3.30)
Таким, образом, данные непрерывного и дискретного спект-
ра находятся в инволюции, а неисчезающие скобки Пуассона данных обратной
задачи (b(X), b(X); Xj, Xj, ^ /=1, ..., п)
даются формулами (3.20) и (3.29).
Скобки Пуассона (3.18) показывают, что In а (Я) является производящей
функцией инволютивных интегралов движения. В частности,
{/*,/"}= 0, (3.31)
где 11, I = 0, 1, ..., - локальные интегралы движения модели МГ,
построенные в § 1. Кроме того, из (1.103) следует, что
{Мз, /,}=0, (3.32)
где М3 - третья компонента полного спина.
3. Канонические переменные типа действие - угол. Как и в § III.7 части
I, из приведенных выше формул получаем, что переменные
p(X)=--±-\n(l-\b(X)\% <p(X) = -aTgb(X) (3.33)
Jt А2
U
4ИеЯ, , ,
Pi = ~ 71ГГ> <7/==lnlY/|. (3-34)
41mA.,
Р/="ТМ^' Ф/ = -ar§Y/ (3-35)
344
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
являются каноническими, т. е. их неисчезающие скобки Пуассона имеют вид
{р(ь), ф(р)}=6(ь-р) (3.36)
и
{Pj> Qk} {pj, ф^)- /, k = 1, ..., n. (3.37)
Переменная p(^) неотрицательна и несингулярна в силу условия (А) и
равенства 6(0) =0.
Таким образом, отображение
Г: (S (х)) ~ (6 (X), J(X), If, lf, у/, Y/) (3.38)
является каноническим преобразованием, тривиализующим динамику модели МГ.
Локальные интегралы движения Г зависят только от переменных типа
действие:
(3.39)
где 1 = 0, 1,... и при /=0 сумму по дискретному спектру следует понимать
в смысле правила Лопиталя.
Формулы (3.36) - (3.37) и (3.49) показывают, что все высшие уравнения МГ
•->
-- = {-2/,, S} (3.40)
at
являются вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами и их временная
динамика задается следующими простыми формулами:
b (I, t) е-л'+1(Ь (I, 0), (0 = К, (0),
(3.41)
Y/W = e >' Y/(0).
В частности, при 1=1 мы узнаем в них формулы (1.64) - (1.65) для
уравнения МГ.
Формальные гамильтонианы Mt и М2 (см. (1.96)) зависят не только от
переменных типа действие. Порождаемые ими уравнения движения, как
нетрудно убедиться из (3.36) и (1.104), имеют вид
= ДО*. Р (Я)} = ± i6 (/.) М±, (3.42)
dt
где M± = Mi±iM2. Очевидно, это уравнение выводит из класса функций р(Х),
гладких вплоть до Я=0, и, таким образом, функционалы М± являются
недопустимыми.
/ ((Pz+'W -(Р/ -Ф/)'),
§ 3. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ МГ 345
Рассмотрим теперь более подробно основные интегралы движения: импульс Р,
гамильтониан Н и проекцию полного спина М3. Выражения для них получаются
из формул (1.103) и (3.33) -(3.35), (3.39). Имеем
-м3= J р(Ь)<*н-2 Р/> (3-43>
- 00 /-1
00 п О
Р= Г Яр (Я) dx - 4 V arctg -Е (3.44)
i U pi
И
00 п
н= Г Я2р(Я)^Я + 16 у ---------^-. (3.45)
4с /=1 Pi + Pi
Эти формулы представляют собой суммы по независимым модам. Первые
слагаемые соответствуют волновому пакету мод непрерывного спектра с
плотностью р(Я). Мода с параметром Я описывает частицу с импульсом и
энергией
р(Я)= Я, /г (Я) =Я2, (3.46)
связанными нерелятивистским законом дисперсии
ад=р2. (3.47)
Она имеет массу 1/2 и единичную проекцию спина на третью ось.
Моды дискретного спектра отвечают солитонам модели МГ. Импульс отдельной
моды имеет вид
р=- - 4 arctg - (3.48)
Р
и меняется в зоне Брнллюэна
|Р| ^2я. (3.49)
Ее энергии дается формулой
h = 16р (3.50)
Р2 + Р2
и связана с импульсом Р и проекцией спина - Мг = р законом дисперсии
ft(P) = _J(r)s in2-. (3.51)
' М3 4
Отметим, что импульс дискретной моды определен по шой4я в соответствии с
обсуждением в § 1.1.
Как и в случае модели НШ, дискретные моды модели МГ при сгущении Я;- к
вещественной оси переходят в непрерывные моды. При этом закон дисперсии
(3.51) переходит в (3.47) при естественной линеаризации.
346 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
В заключение этого пункта рассмотрим калибровочное преобразование от
модели МГ к модели НШ с гамильтоновой точки зрения. Используя формулы
связи (1.53), (1.57), имеем
Рмг М = ~ Р(tm) М, Фмг М = Ф(tm) М + arg (r)0, (3.52)
ла
рТТ = ~рГ'^Т = С>Г' (3-53)
Р?Г = ИГ17 pf"* ФГГ = Ф/Ш + arg (r)0' i= 1 ' • • • ' n' (3-54)
1 | Xj I2 1 1 1
где
arg (c)0 = - arg a(tm) (0) = -i- Рмг. (3.55)
Это сравнение показывает, что при калибровочном преобразовании S (х) >->-
