Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(ф (х), ф(х)) стандартная пуассонова структура модели МГ переходит во
вторую пуассонову структуру модели НШ из иерархии, описанной в § II 1.5
части I:
{.}МГ = {Ы(tm) (3-56)
При этом, конечно, в гамильтониане также происходит сдвиг по иерархии,
так что
HMr = 2Nam, (3.57)
где Nnm - заряд (число частиц) модели НШ. Последняя формула согласована с
локальным результатом
=4I^WI2> (3-58)
доказанным в § 1.4.
Таким образом, модель МГ можно рассматривать как модель НШ, реализованную
при помощи отличных от стандартной пуассоновой структуры и гамильтониана.
4. Рассеяние солитонов с гамильтоновой точки зрения. Общее n-
солитонное решение модели МГ параметризуется набором параметров {plt qs,
ph (р}, /= 1, .. ., п}. В ситуации общего положения (см. п. 3 § 2) при t-
y±oo оно распадается в сумму пространственно разделенных солитонов с
параметрами р(г\ <?'.±) , р'.±), ф'Э', где
+) = р(~) = Ph р'+) = р(~) = Р/> (.3.59)
<7<±> = qj ± Д<7/, ф(.*) = ф/ ± Аф/ (3.60)
§ 3. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ МГ
347
д<7/ = 2 1п
*=/+1 /-1 ! Х,-Хь
/-1
¦2 ln k~i
~
X; - Xk
(3.61)
Аф/= 2 (arg^zrr + 2arg5lt* Г S ( arg/ L;fe +2arg^
1 k J 6=/+-1 \ / A
k~ 1 \
(3.62)
При этом предполагается, что ReXi>ReX2> ... >ReA,". Преобразования
w± ¦ {Pi, qj, Pi, ф/; i = l. ....я}'-"-
- {Рр>, p;-', ф'.±!, 7=1........n}, (3.63)
описанные формулами (3.59) - (3.62), являются каноническими с
производящими функциями ±Kn(Pi, ¦ ¦ ¦ , Рп', Pi, • • •, Рп):
4^ = 17/±^-, <р'*> = <р; ± , j=l, ..., п,
1 дР/ 1 др.
KniPi, • • • > Рп', Ри • • •> Ря) = 2 (Р/> Pk< Pi, Pk), (3.64)
lsS/<A"n
где
^2 (Pi> Ра. Pi. Ра) = {(Pi - p2 + 'Pi + Фа) ln (Pi - P2 + 'Pi +
*Pa) -
- (Pi - Pi + 'Pi - Фа) In (Pi - Pa + 'Pi - 'Pi)} =
= 4 Re J (-------------] ln ------'j - (-------------J- ] In f -f-----r~
l\ M X2 I \ X2 ?.i / \ Xj X2 J \ a2 Xj
(3.65)
Это выражение для производящей функции Кг согласовано с формулой (Ш.8.29)
из части I для модели НШ и отмечавшейся в п. 3 связью пуассоновых
структур.
Как и в случае модели НШ, рассеяние солитонов в модели МГ описывается
каноническим преобразованием. В координатах pit qi±}, Р], ф'.±),/=1, ...,
п, задающих асимптотическое движение при t-y± оо, преобразование
рассеяния S
s ¦ (Р/. pj, q(f\ ф--). / = 1, • • •,"} >-*¦ {Pi, Pi, qf\ Ф/+). / = i. •
• •,n)
(3.66)
представляется в виде
S = W+Wll (3.67)
и очевидно является каноническим. Его производящая функция 5" -
"классическая 5-матрица" л-частичного рассеяния - имеет вид
*^n (Pi, * • * j Рп', Pi. . • . , Рп) =27Сп (р 1 > ..." Рп, Pij . .., Рп)
. (3.68)
348 гл. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Таким образом, рассеяние солитонов в модели МГ дает еще один пример
факторизованной теории рассеяния. Изложение модели МГ в быстроубывающем
случае на этом заканчивается.
§ 4. Вспомогательная линейная задача для модели SG
Здесь мы введем основные характеристики для вспомогательной линейной
задачи модели SG (см. § 1.1)
~ = U (х,Х) F = (*) о3 + т (х + jj sin^^- 04 +
+ /n^_-lJcos^^-ff,jF, (4.1)
где ф(х) и п{х) - вещественнозначные функции, т. и р - положительные
константы. Мы будем рассматривать только быстро-убывающий случай, когда
9 тт
lim ф(л:)==0, lim ф(х) =- Q, lim л (х) = 0, (4.2)
X->-оо д;->-ноо Р 1*1 ->оо
где Q - целое число (топологическйй заряд; см. § 1.1) и граничные
значения принимаются в смысле Шварца.
Отличие рассматриваемой вспомогательной линейной задачи состоит в том,
что дивизор полюсов 31 матрицы U(х, X) содержит две точки Х=0, оо, а не
одну Х=оо, как это было ранее в моделях НШ и МГ. На это обстоятельство
ниже мы будем обращать особое внимание.
1. Матрица перехода и решения Йоста. Матрица перехода Т(х, у, X)
определяется как решение дифференциального уравнения (4.1) с начальным
условием
Т(х,УЛ)\х=у = 1 (4.3)
и представляется в виде
Т (х, у, X) = exp С U (z, X) dz. (4.4)
у
Матрица Т(х, у, X) унимодулярна, аналитична в области С \ \{0) и имеет
существенные особенности в точках Х=оо и >,=0. Из соотношений
U (х, X) = o2U (х, X) о2 (4.5)
и
U {х, -Х)=оги (х, Х)о3 (4.6)
вытекают свойства инволюции для матрицы перехода
Т (х, у, X) = огТ (х, у, X) о2 (4.7)
и
Т(х, у, -X) =<у3Т (х, у, X) оз. (4.8)
§ 4. ЛИНЕИНАЯ задача для МОДЕЛИ SG 349
Кроме того, матрица U(х, X) инвариантна при замене jt(x) >->->-*jt(*),
фМ1-*-ф(*)> V-"--1/Я,. Поэтому имеем соотношение
Т(х,у,-1/Х) = Т(х,у,Х), (4.9)
где через Т(х, у, X) мы обозначили матрицу перехода для данных я (х)
=п(х) и ф (х) =-ф (х).
При *->-±оо вспомогательная линейная задача (4.1) превращается в
дифференциальные уравнения
- = U^(X)E, (4.10)
dx
где
U-<M = jk i(*)a2f U+(X) = (-lfU_(X), (4.11)
a ki(X)= ~ ^ • Эти уравнения решаются явно:
Е_ (х, Х) = Е (х, = (' \) е~ Шя°\ (4.12)
Е+(х, X) = (-l)^E(x, X) (4.13)
при четном Q и
Е+(х, ХУ= (-\У*-1)/ЧогЕ{х, X) (4.14)
при нечетном Q; смысл такого выбора матрицы Е+(х, X), зависящей от
значений Q (mod 4), будет ясен чуть ниже (сравни формулы (4.2), (4.21) и
(4.23) -(4.24), (4.28)).
Матрицы Е±(х, X) унимодулярны и обладают инволюциями
