Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
1 + Ss (x)
а рекуррентное соотношение (1.72) переписывается следующим образом:
Wn+i = io3 ~ +1 2 Wk (SjCT2 - Vi) Wn^k, n = 0, 1, ... (1.79) dx 2 "
§ 1. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ МГ 325
Коэффициенты Wn(x) являются антиэрмитовыми матрицами
Wn{x)--=( ° . (1.80)
\wn (х) 0 /
В терминах функций wn(x) рекуррентное соотношение (1.79) и начальное
условие (1.80) принимают вид
, ч . dwn 5 (л-) _ is (д.) "
oWi (х) = - г - (х) * ; V (х) (х), (1.81)
dx 2 <-J
?=1
п = 0, 1, ... ,
и
= (1>82) 1 "Г (д)
Из формул (1.70) - (1.72) и (1.80) получаем асимптотическое разложение
для матрицы Z(x, у, ?i):
Z{x,y,k) = ~{x-y)o3+ 2 , (1.83)
71=0
где матрицы Z"(x, у) имеют вид
Z"(x,y)=( Zn(jf'y) _° ') , (1.84)
V о - zn (*> у)
Zn
X
(х, У) = - у j (5i (*') - iS2 (х')) "Wi (*')dx' - (1-85)
и
Асимптотическое разложение приведенной матрицы монодромии Т (к) при | к j
оо получается предельным переходом в соответствии с формулой (1.42).
Учитывая, что матрица W(x, к) исчезает при х -"-оо, мы получаем
представление
Т (?i) = ePW + 0 (| Я, |""), (1.86)
где диагональная матрица Р(к) имеет вид
/ Р (к) о \
P(k) = iPK> _ , (1.87)
\ 0 -р(к))
а
ОО J
(L88)
71=0
оо
/"= lim -^zn{x, У) = - ("(S^x)- iS2(x))wn41(x)dx. (1.89)
дс-"+оо i 2 J
326 гл- п- ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Подчеркнем, что свойство диагональности матрицы Р(к) в асимптотическом
разложении (1.86) согласовано с тем, что коэффициент Ь(к) является
функцией типа Шварца и дает вклад 0( Х|~"). Из унимодулярности матрицы
Т(к) имеем
trP(?0=0, (1.90)
так что коэффициенты /" вещественны.
Итак, мы показали, что при |?i|^>-oo справедливо разложение
±1па(Ь)=2 (1.91)
I *- Л
п=о
где вещественнозначные функционалы /" даются формулами (1.89) и (1.81) -
(1.82) и являются интегралами движения модели МГ. Импульс Р и
гамильтониан Я, введенные в § 1.1, совпадают с первыми из них:
Р =-2/0, Я=-2Д. (1.92)
Функционалы /" представляются в виде (1.66) и их плотности являются
рациональными функциями от Sa(x), a=l, 2, 3, и их производных в точке х.
Можно убедиться, что на самом деле плотности функционалов /" при 1
являются полиномами с
точностью до полных производных от шварцевских функций.
Таким образом In a (X) действительно является производящей
функцией локальных интегралов движения.
Функционалы /" выражаются через коэффициенты перехода и дискретный спектр
вспомогательной линейной задачи (1-1). Для этого следует сравнить
разложение (1.91) с дисперсионным соотношением (1.59) - (1.60).
Раскладывая в (1.59) знаменатель
1 - в геометрическую прогрессию, приходим к формулам
И
: arg со0 = -J- f И dk- 2g arg к, (1.93)
2 Я J Л .
/1 = ^- Г In(1 - | Ь (A.) j2)dk + 2 /=1>2......
2я J f-* il
-оо 1-1
(1.94)
- тождествам следов для модели МГ.
Последние равенства согласованы с формулами связи
/Гг = -/(tm), /=1,2,... (1.95)
В § 1.1 мы отмечали, что модель МГ в случае периодических граничных
условий имеет интегралы движения Ма, а= 1, 2, 3,
§ I. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ МГ
327
играющие роль компонент полного спина - генераторов действия группы
вращений. Эти интегралы движения не содержатся в семействе {/я},Г=0.
Более того, функционалы
М,
<3=5 sa(x)dx, а= 1,2, (1.96)
-оо
не являются допустимыми, так как соответствующие им гамильтоновы потоки
нарушают быстроубывающие граничные условия (1.3) (сравни с
регуляризованным функционалом заряда для
модели НШ в случае конечной плотности в § 1.1 части I). До-
пустимым является регуляризованный функционал
со
М3= 5 (S3(*)-l)d*. (1.97)
- со
Дадим для него выражение через коэффициенты перехода и
дискретный спектр.
Для этого продифференцируем уравнение (1.1) по К, обозначая
соответствующую производную точкой:
дт к .st + -V ST. (1.98)
дх 2 ( 2(
Для матрицы
Т(х,у) = Т(х,уЛ) |^0 (1-99)
получаем
^(x,y)=^^rS(x), Т(х,у) 1,^ = 0, (1.100)
так что
л
f{x:y) = ~r^S{x')dx', (1.101)
откуда предельным переходом в согласии с формулой (1.42) получаем
оо
T(V\^0 = -~-^(S(x)-o3)dx. . (1.102)
оо
Отсюда имеем искомые выражения
М3 = 2ia (0) = - Г -1-0 ~'b(k) |2) dk + 2 i у (i.i03)
п J Я2 ¦ _ IM2
-ОО I-1 ¦*
328
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
И
М+ = --1 + iM'2 = 2ib (0), М_ = : _ 2i6(0). (1.104)
Сходимость интеграла в формуле (1.103) в окрестности точки Х=0
обеспечивается условием (1.47).
В § 3, отправляясь от выражений (1.104), мы еще раз убедимся в
недопустимости функционалов М±.
Исследование вспомогательной линейной задачи и отображения FF для модели
МГ на этом заканчивается.
§ 2. Обратная задача для модели МГ
Здесь мы опишем отображение &~~1, т. е. дадим решение обратной задачи о
восстановлении матрицы 5(х) по коэффициентам перехода и дискретному
спектру. Мы приведем два подхода, основанные на матричной задаче Римана и
на формализме Гельфанда- Левитана - Марченко. В конце этого параграфа мы
опишем динамику солитонов модели МГ.
1. Задача Римана. В ее основе лежит формула связи решений Йоста
Г(1,1)=Г+(и)Пд), (2.1)
которая переписывается в виде
