Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 104

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 180 >> Следующая

19) Модель .У-волн, исследованная В. Е. Захаровым и С. В. Манаковым в
работе 11.21], явилась первым примером, в котором проявились все
преимущества представления нулевой кривизны. На ее основе также был
разработан метод матричной задачи Римана [1.53]-[ 1.54], заменяющий фор
мализм интегральных уравнений Гельфанда - Левитана-Марченко.
20) В стационарном случае (т. е. когда нет зависимости от t) уравнения М-
волн совпадают с уравнениями Эйлера, обобщающими уравнения вращения
твердого тела. Этот важный факт был отмечен С. В. Манаковым в работе
[1.34]. В дальнейшем были найдены другие примеры подобного типа [1.31,
[1.8], [1.36], [1.39]. Эти примеры естественным образом погружаются в
общую схему, использующую аффинные алгебры Ли [1.40], [1.42], [1.59],
[1.83]:
21) Кнральное поле является популярной моделью теории поля, имеющей
геометрическое происхождение (см., например, [1.17]). Представление
нулевой кривизны для п-поля было получено в работе [1.81], а для главных
киральных полей - в работе [1.22]. Мы называем матрицы I" левыми токами,
поскольку гамильтонианы \ I° (x)Aa(x)dx относительно пуассоновой
структуры (5.15), (5.18) - (5.19) порождают действие группы G на себе ле-
dg dg
8ыми сдвигами. По аналогичной причине матрицы r0= - g -& 1 ^
называются правыми токами.
22) Двумеризованная модель Тода была введена в работе [1.35], где для нее
было получено представление нулевой кривизны. В другой форме она
рассматривалась в работе [1.76]; ее обобщение на другие системы корней
дано в работе [1.79]. Уравнение (3.54) появилось независимо от двумеризо-
ванной модели Тода в работах [1.26], [1.63]. В работе [1.35] для него
было найдено представление нулевой кривизны.
23) Изложение в § 4 следует работе [1.24]. Формулы типа (4.19) - (4.21)
также были приведены в работе [1.74], посвященной установлению связи
между моделями МГ и НШ без использования метода обратной задачи. Отметим,
что в то время как в решеточном случае модели РМГ и PHIIIi, по существу,
совпадают, в непрерывном случае их связь осуществляется уже калибровочным
преобразованием. Это объясняется тем, что в последнем случае модели МГ и
НШ получаются в результате различных непрерывных пределов из одной
решеточной модели.
24) С расслоением Хопфа и теоремой о голономии можно познакомиться,
например, по монографии [ 1,17]. Предложение использовать эту теорему для
доказательства формулы (4.21) принадлежит А. Г. Рейману.
25) Со скобками Ли - Пуассона, задающими пуассонову структуру на
двойственном пространстве к алгебре Ли, мы более подробно познакомимся в
гл. IV.
314
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
26) Расширенная алгебра токов, которая появилась у нас в § 5, в настоящее
время очень популярна в современной математической физике (см. [1.41],
[1.61], [1.62], [1.70], [1.84]). Некоторые ее приложения к интегрируемым
уравнениям мы обсудим в гл. IV. Термин "коцикл Маурера - Кар-тана" был
введен в работе [1.7] в связи с теорией представлений групп токов.
27) Скобки Пуассона (5.15) и (5.18) - (5.19) задают обычную пуассоно-ву
структуру на кокасательном расслоении T*C(G) группы токов C(G).
Взаимоотношение этих скобок Пуассона со скобками (5.15) - (5.17)
представляет собой пример гамильтоновой редукции пространства Г*С(0) по
действию группы G. По поводу понятия гамильтоновой редукции см.,
например, [1.2].
28) Вторая гамильтонова формулировка модели главного кирального поля в §
5 была введена и использовалась в работе [1.65].
29) Скобки Пуассона (5.59) - (5.61) для мбдели л-поля получаются как
скобки Пуассона - Дирака из канонических скобок
{ла(х), лъ(у)} = {па (х), пъ (у)}=0, {ла(х), пь(у)}=5аъ8(х-у) (8.2)
л2 = 1, л-п = 0. (8.3)
30) Роль неоднозначных функционалов типа (5.74) в качестве функционалов
действия для моделей механики и теории поля была в общем виде выявлена С.
П. Новиковым [1.38]. Функционал W(g) является характерным примером общей
конструкции в [1.38], где была поставлена задача об исследовании модели с
функционалом действия S(g)-ba.W(g). Функционал импульса модели МГ из § 1
представляет собой другой интересный пример и играет роль не действия, а
наблюдаемой.
31) С используемыми в § 5 простыми топологическими свойствами групп Ли
можно, например, ознакомиться по монографии [1.1]. Формула (5.76)
выводится из формулы Стокса дифференцированием по параметру s.
32) Многозначные функционалы действия в неявном виде появлялись в
физической литературе в работе Дж. Весса, Б. Зумино [1.89] на конкретном
примере модели главного кирального поля в четырехмерном пространстве-
времени; геометрическое происхождение неоднозначности действия было
выявлено Э. Виттеном в работе [1.92]. Отметим также, что в модели,
рассмотренной в работах [1.5]-[1-6], фактически использовалось
многозначное действие (5.78) в качестве кинетического члена. Эта модель
представляет собой матричное обобщение модели SG и также интегрируется
методом обратной задачи. Она описывает поле g(x, t) со значениями в
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed