Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Аналитические свойства коэффициентов перехода а(Х) и Ь(Х) аналогичны
случаю модели HI1I. Функция а(?0 допускает аналитическое продолжение в
верхнюю полуплоскость переменной X и при [ X | -оо имеет асимптотику
a(X) = o>0 + o(jL-j, (1.54)
где со0 - верхний диагональный элемент матрицы Но1, |со0| = 1.
Как и в случае модели НШ, на возможные нули функции а(?0
мы будем накладывать условие (А), означающее, что все нули Х} простые и
ImA,->0. Отсюда следует, что их число п конечно и при вещественных X
выполняется строгое неравенство
|Ь(А,)|<1. (1-55)
Числа Xj, Xj, j= 1, ..., п, образуют дискретный спектр вспомогательной
линейной задачи (1.1). Соответствующие коэффи-
322 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
циенты перехода ylt вводятся посредством соотношений
Коэффициент Ь(к) является функцией типа Шварца и, вообще говоря, не
допускает аналитического продолжения с вещественной оси. В случае, когда
для некоторого q^>0 при \x\~^q матрица S(x) совпадает со своей
асимптотикой - матрицей ст3, коэффициент Ь(к) (а вместе с ним и а(Х))
аналитически продолжается на всю комплексную плоскость. При этом
Функция а(к) однозначно определяется по коэффициенту Ь(к) и нулям ...,
кп. Соответствующее дисперсионное соотношение имеет вид
Интеграл в правой части последней формулы сходится абсолютно в силу
условия (1.47).
Приведенные выше результаты можно интерпретировать как описание
отображения
В следующем параграфе мы убедимся, что отображение является обратимым, а
в § 3 покажем, что оно определяет каноническое преобразование к
переменным типа действие - угол.
3. Временная динамика коэффициентов перехода. Рассмотрим эволюцию
коэффициентов перехода, когда матрица S (х, t). удовлетворяет уравнению
МГ. Используя условие нулевой кривизны из § 1.1 и повторяя рассуждения из
§ 1.7 части I, убеждаемся, что имеют место эволюционные уравнения
к,) = у,т? (X,kj), j = 1 я. (1.56)
Имеют место формулы связи
Уi=b(kj), /= 1, ..., п.
(1.58)
где
Т: (S (*)) н*. (b (к), Ъ (Я); к{, к{, yhyh j= 1 п). (1.61)
(х, k) = V (х, к)Т±(х,к)-^~Т± (х, к) <т3 (1.62)
dt 2
И
(1.63)
§ I. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ МГ 323
которые приводят к следующей зависимости коэффициентов перехода от
времени t:
а (к, t) --= а (к, 0), b (к, t) = е-я-Ч (к, 0) (1.64)
я
2
к, (t) = к; (0), У; (/) = еа,'V/ (0), j п. (1.65)
Эти формулы совпадают с временной динамикой для модели
НШ и очевидным образом согласованы с соотношениями (1.53) и (1.57).
Как и в случае модели. НШ, коэффициент а (к) является производящей
функцией интегралов движения. Закончим этот параграф описанием процедуры
выделения семейства локальных интегралов движения. Под последними, как и
раньше, мы понимаем функционалы вида
оо
F= § f(x)dx, (1.66)
-оо
где плотность f(x) является полиномом от матричных элементов матрицы S
(х) и их производных в точке х.
4. Локальные интегралы движения. Мы начнем с описания
асимптотического разложения матрицы перехода Т(х, у, к) при
| к | ->-оо. Представим ее в виде
Т (х, у, к) = (I+W(x, к)) exp Z (х, у, к) (I+W(y, к)) -*, (1.67)
где матрица W(х, к) антидиагональна, а матрица Z(x, у, Я) диагональна и
удовлетворяет условию
Z{x,y,k)\x=y = V. (1.68)
Здесь и ниже в асимптотических разложениях мы зачастую будем опускать
члены вида О (| К | _0°), определенные в § 1.3 части I. Подставляя
разложение (1.67) в (1.1) и отделяя диагональную и антидиагональную
части, приходим к дифференциальному уравнению типа Риккати для матрицы
W(х, >0
+ ikS3a3W + А (5л + S2a2) - Jh-W (Vi + V2) ^=0. (1-69)
ax 2 2
Матрица Z(x, у, Я) дается формулой
X
Z (X, у,к) = - Y j (S3 (X1) а3 + (Si (X') ст, + S2 (*') ст2) W (x\ к))
dx'.
(1.70)
Отличие нашего случая от модели НШ состоит в том, что в асимптотическом
разложении для матрицы W(x, ?i) по степе-
324 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
ням Х~1 присутствует и постоянный член. Действительно, формула связи
(1.14) показывает, что он образуется из антидиаго-нальной части матрицы
П(д:). Разложение матрицы Z(x, у, X)
X
начинается со слагаемого- (х - у)о3 и в нем также присутствует постоянный
член, связанный с диагональными частями матриц П(д:) и Q(y).
Таким образом, асимптотическое разложение матрицы W (х, X) имеет вид
00 (х)
о-71)
п=о
Подставляя (1.71) в (1.69), для коэффициентов Wn(x), ti^l, получаем
рекуррентное соотношение
iS3a3Wn+1 ~jW0 (S1a1 + S2ct2) ^n+i - j Wn+i (Vi + S2ct2) W0 -
dW • n
= --+^ ^ Рл+V2) w^' (1 -72>
dx 2 "
k=i
начальное условие W0 (x) для которого определяется из уравнения
2S3a3lP0-H7o(5iai + S2a2) l^ + S^+S^^O. (1.73)
Вводя диагональную матрицу
Q=(Sia1 + S2a2)lP0, (1.74)
перепишем это уравнение в виде
или Q2 -1" 2S3CT3Q 4- (S3 - 1) / = О, (1.75)
(Q + S3o3y = I. (1.76)
Уравнение (1.76) имеет четыре решения. Нужное нам решение однозначно
определяется из условия
Q + S3ct3 = ct3, (1.77)
X
которое и приводит к появлению слагаемого - (х - у)о3 в
асимптотическом разложении для Z(x, у, X).
Матрица W0(x) имеет вид
W0 (х) = IS-2 (J3 CTl -Sl (-} ga-, (1.78)
