Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
F-(x,k)=F+(x,X)G(k), (2.2)
где матрицы Е±(х, X) составлены из столбцов решений Т±(х, Я) по формулам
F+ (х, X) = -(TL1* (*, X), Т+ ] (х, X)), (2.3)
а (А)
F_(xA) = (Tl?(xA),Tll)(x,X)), (2.4)
а матрица G(X) выглядит следующим образом:
G(X) = ( 1 (2,5)
\-Нк) 1 1
Вводя матрицы
G_(x, X)=F-(x, Х)Е~1(х, X) (2.6)
и
G+(x,X) = E(x,X)F;1(x,X), (2.7)
которые аналитически продолжаются в нижнюю и верхнюю полуплоскости
переменной X соответственно, из (2.2) получаем соотношение, лежащее в
основе задачи Римана:
G+(x, X)G-(x, X) = G(x, X), (2.8)
где
G(x, X) =Е(х, X)G(X)E-l(x, X). (2.9)
§ 2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ МГ 329
Перечислим свойства матриц G(x, Я) и G± (а, Я), которые вытекают из
результатов § 1.
I. Матрица G (а, Я) эрмитова:
G"(x, К) =G (х, Я) (2.10)
и удовлетворяет условиям
0(а,Я)|,=0 = /, (2.11)
lim G (х, Я) = /, (2.12)
IM-
Л-"оо
где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
II. Матрицы G±(x, Я) при каждом х принадлежат кольцам 9? ±Х2), эрмитово
сопряжены друг с другом-.
G+(x, K) = Gl(x,1) (2.13)
и имеют следующие пределы при | Я [ ->-оо;
lim G+ (х, Я) - Q+ (а). (2.14)
|А.|-"оо
Матрицы Q±(a) унитарны и связаны соотношением
Q+M=Q:(a) = ("° °)й(а), (2.15)
так что
S (а) = Q;1 (a) cr3Q+ (х) = Q_ (х) о3 Q:1 (х). (2.16)
III. Матрицы G±(x, Я) удовлетворяют условию
С±(а,Я)|л=0 = /. (2.17)
IV. Матрицы G+{x, Я) и G_(a, Я) невырожденны в своих областях
аналитичности, за исключением точек Х=Х} и Я = Я3 соот-
ветственно, где
lm G+ (х, Я7) = (х) (2.18)
и
KerG_(jf,X,) = A^-)(jc)t /= 1 п. (2.19)
Здесь V/+) (а) и (а) - одномерные подпространства в С2, натянутые
соответственно на векторы
"fC)-
Обратим внимание, что свойства матриц G±(x, Я) для моделей МГ и НШ
отличаются лишь в условиях нормировки: они нормированы на / при Я=0 и при
Я= оо соответственно.
330 гл. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Перейдем теперь к решению обратной задачи. Предположим, что заданы
функции 6 (Я), b (Я) и набор чисел Xjt Я* yJt i-К ... ,п, со следующими
свойствами.
V. Функция 6 (Я) принадлежит пространству Шварца и удовлетворяет
условиям
6(0) =0, |6(Я) I <1. (2.20)
II'. Среди чисел %s, 1тЯ;>0, нет совпадающих и у^фО, /= 1,..., п.
Построим по ним матрицу G(x, Я), набор подпространств Nf' (а) и
рассмотрим задачу Римана
G(x, X) = G+(x, K)G-(x, Я), (2.21)
где матрицы G±(x, Я) принадлежат кольцам Sli*2" нормированы на I при
?1=0и удовлетворяют условиям (2.18) - (2.19).
Тогда утверждается следующее.
I". Сформулированная задача Римана однозначно разрешима.
II". Матрицы F±(x, Я), построенные по решениям G±(x, Я) с помощью формул
(2.6) - (2.7), удовлетворяют вспомогательной линейной задаче
dF±[X' }:]-=~S(x)F±(x, Я), (2.22)
dx 21
где матрица S (х) дается формулами (2.14), (2.16).
III". Матрица 5(a) эрмитова, бесследова, удовлетворяет условию S2 (а) =/
и
lim 5(а)=03, (2.23)
|*Н°°
где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
IV". Функции а (Я) и b (Я), где а (Я) дается формулами (1.59) - (1.60),
играют роль коэффициентов перехода вспомогательной линейной задачи
(2.22); ее дискретный спектр состоит из собственных значений Ян ..., Я";
Яи ..., Я" с коэффициентами перехода уи .., уп\ уь ..., уп. Решения G±(х,
Я) составлены из решений Поста Т±(х, Я) вспомогательной линейной задачи
по формулам (2.3) - (2.4) и (2.6) - (2.7).
Прокомментируем доказательство этих утверждений.
Теорема единственности для задачи Римана стандартным образом получается
из теоремы Лиувилля и условия нормировки (2.17) (см. соответствующие
рассуждения в § II.2 части I). Отсюда, благодаря эрмитовости матрицы G(x,
Я), вытекает равенство (2.13).
§ 2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ МГ 331
Для доказательства теоремы существования достаточно воспользоваться
преобразованием
G+ (х, Я) - G+ (х, Я) Q;1 (х), (2.24)
G_ (х, Я) = QI1 (х) G_ (х, Я), (2.25)
где Q±(x) -предельные значения матриц G±(x, Я) при |Я|-*-оо. Матрицы Q±
(х) в силу (2.13) удовлетворяет условию
Q+(x) = Q-_(x) (2.26)
и унитарны; поэтому матрицы G±(x, Я) по-прежнему удовлетворяют уравнению
(2.21) и условиям (2.18) - (2.19). Таким образом, это преобразование
сводит задачу Римана с единичной нормировкой при Я = 0 к задаче Римана с
единичной нормировкой при Я = о°. Разрешимость последней задачи была
доказана в § 11.2 части I. Обратное преобразование дается формулами
G+ (х, Я) = G+ (х, Я) G;1 (х, 0), (2.27)
G_ (х, Я) = (Г1 (х, 0) G_ (х, Я). (2.28)
Для вывода дифференциального уравнения в пункте II" перепишем задачу
Римана (2.21)
F-(x, k)=F+(x, Я)в(Я) (2.29)
и продифференцируем это равенство по х, записав результат в виде
U (х, Я) = -F+ {х'-^ К1 (х, Я) = (*,_?.) Г1 (х, Я). (2.30)
дх дх
Как и в § 11.2 части I, убеждаемся, что U (х, Я) является целой функцией
Я. Используя принадлежность функций Е(х, Я)F~x (х, Я) и F-(x, Я)Е~1(х, Я)
кольцам !R±X2) , асимптотики (2.14) и теорему Лиувилля, получаем, что
U(x,K)= - S(x) + C(x), (2.31)
2 (
где матрица S(x) дается формулами (2.16). Из условия (2.17) следует, что
