Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
IV ли-алгебраическая классификация фундаментальных скобок Пуассона. Мы
решили, однако, включить в книгу общее обсуждение уравнения нулевой
кривизны с тем, чтобы показать непосредственные возможности этого
представления для интегрируемых нелинейных уравнений.
U(x + 2L, X) = U(x, X),
V(x + 2L, X) = К (x, X)
матрица монодромии
j:
Tl (t, =exp f U (x, t, X) dx
-L
удовлетворяет уравнению dTr (t, X)
Li =[V (L, t, X),Ti (t, X)]
312
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
§ 8. Комментарии и литературные указания
Существует обширная литература, посвященная исследованию приведенных в
этой главе моделей. Здесь мы дадим ссылки только на те работы, в которых
к этим моделям был применен метод обратной задачи, т. е. получено
представление нулевой кривизны и, как правило, рассмотрен случай быстро-
убывающих граничных условий. Дальнейшие ссылки см. в соответствующих
параграфах глав II-III. Там же мы укажем работы, в которых эти модели
были рассмотрены с гамильтоновой точки зрения.
1) Модель МГ была погружена в метод обратной задачи в работе [1-86].
2) Модель SG активно исследовалась в 1973-1975 годах. Представление
нулевой кривизны для уравнения SG в координатах светового конуса
<Э2ю . т2
- sin (5<р =0 (8.1)
<9|<9г| Р
было получено в работах [1.46], [1.55], а в форме (1.19)-в [1.19],
[1.47]. Конечно, эти представления нулевой кривизны формально
эквивалентны; различие приведенных работ состоит в том, что исследуются
разные вспомогательные линейные задачи. Более подробные ссылки см. в гл.
II.
3) Метод обратной задачи к модели Л-Л был применен в работах [1.4],.
[1.85].
4) Векторная модель НШ с двумя цветами была погружена в метод обратной
задачи в работе [1.32], результаты которой непосредственно переносятся на
случай произвольного числа цветов. Ее обобщение на однородные
пространства групп Ли было дано в работе [1.69].
5) Общее замечание в конце § 1 о связи функционала импульса с сим-
плектической формой на фазовом пространстве возникло при обсуждении этого
вопроса с А. Г. Рейманом.
6) Первой интегрируемой моделью на решетке явилась модель Тода,
описывающая ангармонические колебания одномерной кристаллической решеткй
(см. [1.87]). Метод обратной задачи для ее точного решения был применен
С. В. Манаковым [1.33] и Г. Флашкой [1.66]-[1.67]. Дальнейшие ссылки см.
в гл. III.
7) Переформулировка условия нулевой кривизны для решеточных моделей была
осуществлена М. Абловнтцем и Дж. Ладиком в работе [1.57].
8) Вторая модель в § 2 была введена Вольтерра в работе [1.88], что и
объясняет ее название. Помимо экологических приложений, она возникает и в
физике плазмы при изучении тонкой структуры спектров ленгмюровских
колебаний. Метод обратной задачи для нее был развит в работе [1.33]. По
поводу пуассоновой структуры модели Вольтерра см. гл. III.
9) Модель РМГ и вспомогательная линейная задача для нее были введены в
работе [1.44].
10) Модель РНШ1 и вспомогательная линейная задача (2.62) - (2.63)
появились в работе [1.27].
11) Модель РНШ2 была введена в работе [1.57], где к ней был применен
метод обратной задачи. Гамильтонова формулировка модели была дана в
[1.72]-[1.73].
12) Связь моделей РНШ1 и РМГ, в частности операция альтернирования знака
(2.51), обсуждалась в работе [1.45].
13) По поводу теории представлений групп SU(2) и St/(1,1) см., например,
монографию [1.11].
14) Предложение использовать общее представление нулевой кривизны для
изучения нелинейных уравнений принадлежит В. Е. Захарову и А. Б. Шабату
[1.23] и носит сейчас название схемы Захарова - Шабата. Для случая
двумерного вспомогательного пространства общее представление нулевой
кривизны изучалось ранее в работе [1.56]. Роль калибровочного
преобразования в этом подходе обсуждалась в работе [1.24] на примере
моделей МГ и НШ.
5 8. КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
313
15) Систематическое исследование различных редукций в представлении
нулевой кривизны было проведено А, В. Михайловым [1.78].
16) Как мы отмечали во введении, знаменитое уравнение КдФ появляется
только в основном тексте гл. I части II. Традиционно это уравнение
рассматривается при помощи представления Лакса [1.75]. Представление
нулевой кривизны для уравнения КдФ появилось в работе [1.37]. Другие
ссылки по поводу этого уравнения уже указывались в гл. III части I.
17) Переход от уравнения (3.13) к (3.12) является частным случаем
преобразования Фробениуса, приводящего обыкновенное линейное
дифференциальное уравнение л-го порядка к системе п линейных уравнений 1-
го порядка. Очевидна унифицирующая роль таких систем в представлении
нулевой кривизны. Дифференциальные уравнения высшего порядка, изученные в
работах [1.12]-[1.131, таким образом, могут быть рассмотрены как редукции
схемы Захарова - Шабата [1.14], [1.15].
18) Пуассонова структура (3.15) была введена в работах [1.18] и [1.71]. В
работах [1.60], [1.64] отмечались важные тонкости, связанные с
гамильтоновой интерпретацией уравнения КдФ.
