Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
что группа гомологий H3(G) порождена одной образующей В0 (т. е. H3(G)=Z).
Тогда весь произвол в определении tt?(g) состоит в добавлении к нему
целого кратного периода формы Q -
величины \ Q (сравни с определением функционала импульса
модели МГ в § 1). В этом случае функционал U7(g) имеет такое же право на
существование, что и элементарная многозначная функция In г.
Сделанное выше предположение H3(G) = Z справедливо для всех простых трупп
Ли. В простейшем случае G = SU(2) форма Q совпадает с формой объема на
группе.
Важным свойством функционала W(g) является однозначность его вариации
6W(g). Для доказательства воспользуемся формулой для вариации интеграла
при варьировании замкнутой поверхности интегрирования "j(s)
где у = у(0), s - векторное поле вариации на у, a i|dco - свертка поля |
с формой da. В нашем случае | = Sg, и из формулы (5.74) получаем
где /", как обычно, означают левые токи поля g.
Введем теперь модифицированный функционал действия для кирального поля g,
положив
где функционал 5(g) дается формулой (5.8), а а - вещественная константа.
Уравнения Эйлера - Лагранжа для 5a(g), записанные в терминах левых токов,
имеют вид
и называются модифицированными уравнениями главного кирального поля.
Между локальными решениями обычных и модифицированных уравнений главных
киральных полей имеется простое взаимно однозначное соответствие. Именно,
пусть /0 и - решение
слагаемому ^Q, где В = В1-Ву- 3-цикл на G. Предположим,
в
(5.76)
bW (g) = f "yfo.= f tr ([/г, /0] 6g • g-1) dx dt, (5.77)
g( S2) s2
Sa(g)=S(g)+aUP(g),
(5.78)
(5-79)
(5.80)
§ 5. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА КИРАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ 299
уравнений (5.79) - (5.80). Тогда матрицы
Г" = /0-a/i, (5.81)
-сс/0 (5.82)
удовлетворяют системе (5.3) - (5.4). Обратное преобразование дается
формулами
/0 = 1 - (/" + a/i), (5.83)
1 - а2
~-¦-^i + °^o)- (5.84)
1 - а\
Далее, пусть U (х, t, X) и V(х, t, X) -матрицы из представления
нулевой кривизны для модели главного кирального поля (см.
§ 3). Рассмотрим совместную систему уравнений
- = U(x, i, X) F, (5.85)
дх
dl- = V{x,t,X)F, (5.86)
ot
где F (x, t, X) -матрица-функция со значениями в группе G, и положим
g (x,t) = F (x,t,X) |л=а, (5.87)
g (x, t) = F (x, t, X) |?=ct. (5.88)
Тогда матрицы g и g удовлетворяют, соответственно, обычным и
модифицированным уравнениям главного кирального поля. Таким образом,
представление нулевой кривизны (3.37)-(3.40) обслуживает и
модифицированные уравнения главных киральных полей.
Однако между обычной и модифицированной моделями имеются и отличия. Во-
первых, поскольку
W(g)=-W(g-1), (5.89)
в модифицированной модели нарушена инвариантность при замене g>->-g~l,
имевшая место в обычной модели. Во-вторых, эти модели имеют разные
пуассоновы структуры.
Именно, уравнения (5.79) - (5.80) являются гамильтоновыми по отношению к
гамильтониану Я, совпадающему с гамильтонианом главного кирального поля
(5.13), и к следующим скобкам Пуассона:
{П (-V), 1\ {у)} = - Г (Ц (х) + all (х)) 6 (х - у), (5.90)
{lao (х), 1\ (у)} = - Гп {х) 6 (х-у)- Ьа,Ъ' (X - у), (5.91)
{1аЛх),1\(у)} = 0. (5.92)
ЗСО ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Последние отличаются от скобок Пуассона (5.15) - (5.17) лишь добавлением
слагаемого -afabcl\(x)b(x-у) в правой части формулы (5.90). Аналогичная
модификация скобок Пуассона пра вых токов выглядит следующим образом:
К М> U (г/)} = - fabc (л, (*) - аг{ (х)) 6(х - у), (5.93)
К (х), А (У)} = - ГА (х) 6 (х-у)- б^б' (х-у), (5.94)
{гаЛх),А(у)}= 0. (5.95)
Отметим, что скобки Пуассона между величинами g(x) и
10(х), а также g(x) и г0(х) по-прежнему даются формулами
(5.18) и (5.22).
Повторяя выкладки, приводящие к формулам (5.27) - (5.29), убеждаемся, что
величины
La (x) = A(x)~alal(x), (5.96)
Ra(x)^A0(x) + ara1(x) (5.97)
имеют следующие скобки Пуассона:
{La (х), Lh [у)) = - ГU (х) б (х-у) + 2сЛ (х - у), (5.98)
{Ra (х), R? (у)) = - f'cRc (х) б (х-у)- 2at>abR (х-у), (5.99)
{La (х), Rb (у)}= 0. (5.100)
Соображения теории возмущений показывают, что при афО переменные La(x) и
Ra(x) можно использовать для параметризации фазового пространства. Таким
образом, фазовое пространство модели ассоциируется с прямой суммой двух
центрально расширенных алгебр токов С±(д) алгебры g с 2-коциклами
±2аба!>б'(х-у). Ради этой неожиданной и красивой интерпретации мы и ввели
здесь в рассмотрение модифицированную модель главного кирального поля. На
ее примере мы еще раз убедились в полезности использования многозначных
функционалов и оператора d~l.
§ 6. Задача Римана как способ построения решений
интегрируемых уравнений
Здесь мы продолжим начатое в § 3 обсуждение общих свойств уравнений,
представимых в виде условия нулевой кривизны •
дЛП - ТЩ_ + 1щх), V (А)] = 0, (6.1)
dt дх
§ 6. ЗАДАЧА РИМАНА КАК СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИИ
301
где U(х, t, X) и V(х, t, X) являются рациональными матрицами-функциями
спектрального параметра X:
т nt TJ /х (\ п°>
и(х, t,x) = 2 2 - nlif + s (*•*)* (6-2)
/= 1 г=х ' k=о
