Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 99

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 180 >> Следующая

' "Г ni у. (x,t) ,
V (х, *Д) = 2 s + S x v'0- (6-3)
/=1 s=i ь / I-о
В § 3 мы убедились, что уравнение (6.1) представляет собой нелинейную
систему уравнений на матричные коэффициенты Ui,Т(х, t), Uk(x, t) и
VjiS(x, t), Vt(x, t). В общем положении вид этой системы зависит лишь от
дивизоров полюсов и={(^, щ), 1=1, Ш-, (оо, "")} И 83= {(рЛ "j), /= 1,
m; (оо, ??")} мат-
риц U(х, t, X) и V(x, t, X). Более специальные системы получаются при
редукциях - априорных предположениях о структуре матричных коэффициентов
матриц U(х, t, X) и V(х, t, X), совместных с уравнением (6.1). В этом
параграфе мы рассмотрим задачу о построении по возможности наиболее
широкого класса частных решений общего уравнения (6.1) с данными
дивизорами U и 93. Мы убедимся, что кинематическая интегрируемость
нелинейных уравнений позволяет строить богатый класс точных решений этих
уравнений.
Предположим, что нам задано какое-то решение уравнения
(6.1) -матрицы U0(x, t, X) и V0(x, t, X) с дивизорами полюсов U и S3
соответственно. Например, можно иметь в виду "тривиальное" решение,
задаваемое матрицами
U0(x, t, X) = U0(x, X), V0(x, t, X) = V0{t, X), (6.4)
где
[U0(x, X), V0(t, a.)]=0. (6.5)
Через F0(x, t, X) обозначим невырожденное матричное решение совместной
системы уравнений
dl± = U0(x,t,X)F0, (6.6)
^ = V0(x,t,X)F0. (6.7)
dt
Покажем, что по заданным матрицам U0(x, t, X) и V0(x,t,X) можно построить
целое семейство локальных решений уравнения (6.1), заданных в некоторой
области 3) переменных х и t на плоскости 1R2. Оно параметризуется
замкнутым ориентированным контуром Г на расширенной комплексной плоскости
С = = С U{°°} и заданной на нем гладкой, ограниченной и невырожденной
матрицей G(X). Если дивизор 11 или S3 пересекает контур
302 гл. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ II ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Г, то потребуем, чтобы
G(a)=/+0(|X-А* Iя-), (6.8)
где X лежит в окрестности точки (Х0, п0) из U или 93. Для построения по
этим данным решения уравнения (6.1) рассмотрим регулярную задачу Римана
на Г
G (х, U М = G+ (х, t, X) G_ (х, t, X), (6.9)
где
G (х, t, X) = F0 (x, t, X) G (X) F;1 (x, t, X), (6.10)
а матрицы-функции G+(X) и G-(X) допускают аналитическое продолжение на
внутренность и внешность контура Г и невы-рожденны там. Переменные х и t
играют роль параметров этой задачи. Предположим, что эта задача Римана
разрешима для значений параметров из некоторой области 3).
Продифференцируем уравнение (6.9) по х. Используя (6.6) и (6.10) получим,
что для X из Г
^O_ + G+^ = t/0G+G_-G+G_t/0, (6.11)
дх дх
ИЛИ
и {х, t,x) = - g;1 - u0g+J = (^ + g_g0) g:1. (6.12)
Здесь и ниже для сокращения записи мы иногда опускаем зависимость от л: и
Из (6.12) следует, что определенная этой формулой матрица U(х, t, X)
допускает аналитическое продолжение на С \U. Убедимся, что на самом деле
U(х, t, X) для х, t из области 3) является рациональной функцией X с
дивизором полюсов U.
Действительно, если точка (Х0, п0) из U не лежит на контуре Г, то,
очевидно, U(х, t, X) имеет в точке Х=Х0 полюс того же порядка п0, что и
U0(x, t, X). Если же Хо принадлежит контуру Г, то функция F0(x, t, X)
имеет существенную особенность на Г. Однако условие (6.8) гарантирует
регулярность как функций
dG±
G(x, t, X), G±(x, t, X), так и функций-^- (х, t, X) при Х = Х0. Таким
образом, и в этом случае U(х, t, X) имеет при Х=Х0 полюс порядка п0- Для
завершения доказательства достаточно воспользоваться теоремой Лиувилля.
Аналогичным образом, дифференцируя уравнение (6.9) по t, получаем, что
матрица
I/ (х, t,x) = - g;1 (~j- - i/0g+j = + g_v0) g:1 (6.13)
для x, t из области 3) является рациональной функцией X с дивизором
полюсов S3.
§ 6. ЗАДАЧА РИМАНА КАК СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИИ
303
Из (6.12) - (6.13) следует, что матрицы-функции F±(x, t, X) F+ = G~+F0,
F_ = G_F0 (6.14)
для указанных значений х и t удовлетворяют системе уравнений
~- = U(x,t,X)F±, (6.15)
дх dF .
-^ = V(x,t,X)F±, (6.16)
которая, таким образом, является совместной. Отсюда заключаем, что
матрицы U(x, t, X) и V(х, t, X), определяемые формулами (6.12) - (6.13),
дают для х, t из области 3) решение уравнения (6.1) с заданными
дивизорами полюсов U и 93.
Описанная конструкция построения решений уравнения нулевой кривизны носит
жаргонное название процедуры "одевания затравочного решения" U0(x, t, X)
и V70(x, t, X). В ее основе лежит способ построения представления нулевой
кривизны при помощи матричной задачи Римана, уже введенной в части I на
примере модели НШ. Задача о принадлежности решений уравнения нулевой
кривизны, построенных при помощи процедуры одевания, к заданным
функциональным классам (т. е. вопрос о выборе затравочных матриц Ua(x, t,
X), Va(x, t, X), контура Г и матрицы G(X)) является нетривиальной и в
каждом случае требует специального исследования. Результаты гл. II первой
части можно интерпретировать как решение этой задачи для модели НШ в
случае граничных условий быстрого убывания и конечной плотности.
Решение задачи Римана (6.9) не единственно - вместе с матрицами G+(x, t,
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed