Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
g(x)=g(x,-L)g(-L). (5.43)
При этом возникает новая динамическая переменная - матрица g(-L)
("постоянная интегрирования"), находящаяся в инволюции со всеми 1ц(х), но
не с бывшими аннуляторами Л". Преобразование подобия
g-'(-L)fig(-L)=R = R°t" (5.44)
переводит их в правые токи.
Мы подробно привели здесь все эти рассуждения с тем, чтобы обратить
внимание на неочевидные свойства стандартной пуассоновой структуры модели
главного кирального поля.
Эта модель допускает интересную редукцию, приводящую к гамильтоновой
системе с отличной от (5.15) - (5.17) пуассоновой структурой.
Ограничившись для простоты случаем G = SU(2) и периодическими граничными
условиями на токи /"(х), введем
§ 5. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА КИРАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
295
переменные
S=A±ilt т =¦Uo ~1 , (5.45)
в терминах которых уравнения (5.3) - (5.4) принимают вид
dJL = -^~[S,T], (5.46)
dt дх
dJL = -d.L + [S,T]. (5.47)
dt дх
(В обозначениях из § 3 имеем S = U+, T=U-.)
Редукция
S2 = T2=I (5.48)
задает инвариантное подмногообразие системы уравнений
(5.46) - (5.47). Рассмотрим его в качестве фазового пространства с
пуассоновой структурой, задаваемой следующими скобка-
ми Пуассона:
{Sa (х), Sb (у)} = - e^Sc (х) 6 (х - у), (5.49)
{Та (х), Ть (у)} = - г°*Тс (х) б (х - у), (5.50)
{S'",TftG/)}=0. (5.51)
Введенное фазовое пространство является прямым произведением (УХ(У, где
(У- снмплектическая орбита алгебры токов группы SU{2), задаваемая
условием S2 = I, так что пуассонова структура (5.49) - (5.51)
невырожденна. Уравнения (5.46) -
(5.47) записываются в гамильтоновом виде
dj-={H,S}, д1- = {Н,Т} (5.52)
с гамильтонианом
L
H(S,T) = P(T)-P(S)- trSTdx, (5.53)
-L
где P - функционал импульса на фазовом пространстве (У, введенный в § 1.
Отметим, что гамильтониан Я дает пример многозначного функционала,
определенного с точностью до целого кратного 8 я (см. § 1). Однако его
вариационные производные
очевидно являются однозначными периодическими функциями.
->
Перейдем теперь к гамильтоновой формулировке модели п-
поля, ограничившись для простоты случаем сферы S2. Фазовое
-> ->
пространство модели образовано вектор-функциями я(х),п(х) со значениями в
1R 3, удовлетворяющими периодическим граничным
296
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
условиям
л (х + 2L)= л (х), п (х2L) = п (х) (5.54)
и связям
п2 = 1, я-я = 0. (5.55)
Уравнения движения
^ = л, (5.56)
ut
Эл (5.57)
dt дх2 \ \ дх
порождаются гамильтонианом
V (5-58)
-L
и скобками Пуассона
{п*(х), пь(у)}= О, (5.59)
{я"(д:), ль(*/)}= - (ла(х)пь(х)-пь(х)па(х))&(х-у), (5.60)
{ла (лс), "ь (г/)} = (баЬ-"а (лс) /гь (лс)) б (л:-г/), а, Ь = 1,2,3.
(5.61)
Пуассонова структура, порождаемая этими скобками Пуассона, совместна со
связями (5.55).
Скобки Пуассона (5.59) - (5.61) можно упростить, если ис--> -=*
пользовать вместо я (дг) переменную 1(х):
I = п /\ л, /2 = л2. (5.62)
В результате получаем скобки Пуассона
{la (X), 1Ь (у)} = - efikf (х) 6 (х - у), (5.63)
{1° (х), пь (у)} = - гаЬспс (х) 6(х - у),, (5.64)
{па (х), пь (у)} = 0, (5.65)
характеризующие алгебру токов группы ?(3). Фазовым пространством модели
является симплектическая орбита
п2 = 1, I ¦ п = 0 (5.66)
алгебры С(е(3)), так что пуассонова структура на нем невы-рожденна.
В рассматриваемом случае модель n-поля является 0(3) -инвариантной. Роль
генераторов гамильтонова действия группы
§ 5. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА КИРАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
297
0(3) на фазовом пространстве играют величины
L
La - ^ f (х) dx (5.67)
-L
со скобками Пуассона
{La, Lb}=-&abcLc. (5.68)
Закончим этот параграф обсуждением еще одной модели кирального поля,
имеющей интересное топологическое происхождение. Ее можно ввести
благодаря тому, что на компактных группах Ли помимо обычного действия
S(g) для главного кирального поля имеется еще один двусторонне
инвариантный функционал W(g), не зависящий от метрики на [R2.
Для его определения рассмотрим на компактной группе Ли G
правоинвариантную 3-форму Q, определив ее при g=I равенством
?2(*. У, Z)=tr([x, y]z), (5.69)
так что
Q=tr0A0A0, (5.70)
где 0 - форма Маурера - Картана на G:
B=dg-g-\ (5.71)
Форма Q двусторонне инвариантна и замкнута
dQ = 0, (5.72)
но не точна (существование такой формы о означает, что для компактных
групп Ли G группа когомологий H3(G, R) нетривиальна).
Пусть g(x, t)-главное киральное поле, т. е. отображение g: R2-vG. Будем
считать, что его можно компактифицировать - продолжить до отображения
сферы S2 в G, задав тем самым на G 2-цикл у. Покроем этот цикл
односвязной картой на G, рассмотрим в ней локальную первообразную со
формы Q
w = d-1Q (5.73)
и положим
w (s) = S "• (5.74)
По своему построению функционал W (g) является многозначным,
поскольку со не продолжается до 2-формы на G.
Выясним
характер его неоднозначности.
Натянем на 2-цикл у пленку (известно, что гомотопическая группа n2(G)
тривиальна). По формуле Стокса имеем
W(g)= J Q. (5 75)
298
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ II ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Неоднозначность в выборе пленки приводит к дополнительному
