Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
X), G_(x, t, X) уравнению (6.9) удовлетворяют также и матрицы G+(x, t,
0> &(х, t)G_(x, t, X), где
fi(x, t)-произвольная невырожденная матрица, не зависящая от X. При этом
решение уравнения нулевой кривизны подвергается калибровочному
преобразованию с матрицей Q(x, t) - вместо решений U(x, t, X) и V(х, t,
X) мы получим Ua(x, t, X) и Va(x, t, X). Этот произвол устраняется
нормировкой задачи Римана, т. е. заданием значения одной из матриц G±(x,
t, X) в какой-нибудь точке, например, при Х = °о. При этом сама задача
Римана решается однозначно. В частности, полагая G±(oo) = = G(oo)=/, мы
имеем, как принято говорить, единичную нормировку, которая уже
встречалась при исследовании модели НШ. В общем случае в качестве точки
нормировки обычно удобно выбирать одну из точек дивизоров U или 93. С
конкретными примерами различных нормировок задачи Римана мы познакомимся
в двух последующих главах.
Помимо регулярной задачи Римана, в процедуре одевания можно использовать
и задачу Римана с нулями, когда матрицы
304
ГЛ. I. ОСНиЫНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
G±(x, t, X) могут иметь в своих областях аналитичности конечное число
нулей - точек вырождения X=X(lt>t ;=1, iV±, которые не зависят от х и / и
не принадлежат дивизорам U и SB. В случае простых нулей (т. е. когда
матрицы G~± (х, t, X) имеют при i=Xij±> простые полюса), которым мы здесь
и ограничимся, к данным задачи Римана следует добавить набор
подпространств
Nf {х, t) = Ira G+ {x, t, X'p), (x, t) = Ker G_ (x, t,
X(f\ (6.17)
/=1, . . . , Ns,
которые вместе с нормировкой обеспечивают единственность задачи Римана с
нулями. При условии, что зависимость подпространств N^ix, t) от х я t
согласована с уравнениями (6.6) - (6.7)
N'f (х, t) = F0 (х, t, Xf]) Nf\ j = 1, . . . , N-±, (6.18)
где N(j±} не зависят от x и t, матрицы U(x, t, X) и V(x, t, X) из (6.12)
- (6.13) не приобретут лишних полюсов в точках Х~Х(^} и по-прежнему в
качестве дивизоров полюсов будут иметь U и S3. В случае, когда G{X)=I,
задача Римана с нулями сводится к системе линейных алгебраических
уравнений и решается явно. Таким образом получается богатый набор решений
уравнения
(6.1), в который входят солитонные решения.
С частным случаем этой конструкции мы уже встречались при обсуждении
модели НШ. Приведенные там доказательства по существу не использовали
специфику модели и пригодны для рассматриваемого здесь общего уравнения
нулевой кривизны.
Описанная конструкция процедуры одевания приспособлена для общего
уравнения нулевой кривизны (6.1). Если же мы имеем дело с редуцированной
системой (6.1) (например, считаем, что U (X) и Е(Х) принадлежат некоторой
комплексной алгебре Ли), то контур Г, матрицу G (X) и другие
характеристики следует выбирать согласованными с данной редукцией. В
случае модели НШ такие редукционные ограничения осуществлялись при помощи
условий инволюции. С другими примерами мы познакомимся в следующих
главах.
Заканчивая обсуждение процедуры одевания, укажем, что изложенная схема
дословно переносится на случай решеточного уравнения нулевой кривизны
{Х) Ln (X) - Ln(X) Vn (X), (6.19)
at
введенного в § 2. Именно, в основе схемы по-прежнему лежит задача Римана
G (п, t, X) = G+ (п, t, X) G_ (п, t, X)
(6.20)
§ 7. СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ
305-
с параметрами nut, где
G (п, t, к) = F0 (п, t, к) G (к) Го1 (п, t, к), (6.21>
а матрица F0(n, t, к) определяется по затравочному решению L°n (t,k), Vn
(t,k) уравнения (6.19):
(л + 1, /Д) = L°n (t, к) (n, t, k), (6.22)
^ (n, t, k) = V\ (t, k) F0 (n, t, k). (6.23)
at
При этом матрицы F±(n, t, к)
f+^gSf", f_ = g_f0 (6.24).
удовлетворяют системе уравнений
F±{n+ 1, t, к) =/."(/, k)F±(n, t, k), (6.25)
dF+
-? (n, t, k) = Vn (t, k) F± (n, t, k), (6.26)'
at
где
Ln (t, k) = Gl1 (n + 1) L°nG+ (n) = G_ (n + 1) L°GZl (n), (6.27)
Vn (t, k) = - G+ (n) - V°nG+ (n)J = + G_ (n)!/") G"
(6.28)
(сравни с формулами (6.12) - (6.13)).
Вывод дифференциального уравнения по t идентичен выводу соответствующего
уравнения (6.16) для непрерывного случая,-Для вывода же разностного
уравнения следует сравнить задачи: Рнмана (6.20) для значений п и я+1 и
исключить из них матрицу G (к) (аналог дифференцирования по х в
непрерывном случае) .
Таким образом, построенные матрицы Ln(t, к) и Vn{t, к)-удовлетворяют
уравнению (6.19) и имеют те же дивизоры полюсов, что и Ln (t, к) и Vn (t,
X).
§ 7. Схема построения общего решения уравнения нулевой кривизны.
Заключительные замечания по поводу интегрируемых уравнений
Здесь мы опишем общее локальное решение уравнения нулевой кривизны
dU (а) _ dVJLl + ^ v ^ = Q ^
dt дх
с заданными дивизорами полюсов U и 93. Для удобства мы будем считать, что
дивизоры U и S3 не содержат точку к=оо и
.306
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И НХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
матрицы U(К), 1/(Х) исчезают при Х = оо (этого можно добиться, используя
дробно-линейную замену параметра X и калибровочное преобразование).
Пусть матрицы U (х, t, X) и V(х, t, X) удовлетворяют уравнению (7.1) и
