Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
начальным условием
Т(х,уЛ)\х=у=1 (1.9>
и представляется в виде
х
Т (х, у, К) = exp - \ S (г) dz, (1.10>
2 i J
у
так что
Т(х,у,Х)\^0 = 1. (1.11)
Матрица Т(х, у, унимодулярна и является целой матрицей-функцией
переменной К. Из соотношения
S (х) = - <r2S (х) <т2 (1.12>
вытекает свойство инволюции
Т (х, уД) = агТ (х, уД) <т2. (1.13>
Имеет место формула связи
ТМГ(х, y,'k)=Q-l(x)TBm(x, y,k)Q(y). (1.14>
318 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
При |*|-"-оо вспомогательная линейная задача (1.1) превращается в
дифференциальное уравнение
(1.15)
dx 21
которое решается явно:
- а
Е (х, Я) = еи \ (1.16)
Решения Поста Т±(х, Я) при вещественных Я определяются как пределы
Т±(х,Ц= Пт Т(х,у,\)Е(у,Х). • (1.17
у-н± со
Матрицы Т±(х, Я) унимодулярны, удовлетворяют дифференциальному уравнению
(1.1), соотношению инволюции
Т±{х, Я) =а2Т±(х, Я)о2, (1-18)
обладают свойством
Т±{х,Щх^1 (1.19)
и при *->-±с" соответственно имеют асимптотики
Т±(х, Я)=?(*, Я)+о(1). (1.20)
Альтернативно решения Поста можно задать при помощи интегральных
уравнений
X
Г_(*,Я)=?(*,Я) +A J E(x-y,K)(S{y) - a3)T_(y,X)dy (1.21)
- 00
.И
оо
Т+ (х, X) = E(x,b)-jrjE(x-y, Я) (S (у) - ст3) Т+ {у, Я) dy. (1.22)
*
При вещественных Я эти уравнения являются вольтерровскими и итерации для
них абсолютно сходятся. Анализируя эти итерации, убеждаемся, что матрицы
Т±(х, Я) допускают представления
X
7А (*, Я) = Е (х, V + j' Г_ (*, у) Е (у, Я) dy (1.23)
я
Т+ (х, Я) = Е (х, Я) + A. j' Г+ (*, у) Е (у, Я) dy. (1 24)
§ 1. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ МГ 319
Подставляя эти интегральные представления в уравнение
(1.1), получаем, что матрицы Г±(х, у) удовлетворяют задачам
Гурса- дифференциальному уравнению в частных производных
^ (х, у) + S (х) ^ <т3 = 0 (1.25)
дх ду
при ± (у-х) >0 и граничным условиям
lim Г±(х, у)=0, (1.26)1
у-*± со
<=F (Г± (х, х) - S {х) Г± (х, х) ст3) =S(x)- (Уз. (1.27) Имеют место
формулы связи
Г"г (х, X) = СГ1 (х) ТТ (х, X), (1.28)
Т?г (х, X) = Q 1 (х) Г(tm) (х, a) Q0 (1.29)
И
Г(tm) (х, у) = - Q (х) -р- (х, у) <т3, (1.30)
ду
<9Гмг
Г+ш (X, у) = -Q (х) -±- (х, у) Q>3. (1-31)
ду
Здесь матрица П(х) считается нормированной следующим образом:
НтЙ(х) = /. (1.32>
со
Последнее условие вместе с уравнением (1.7) и условием анти-
диагональности матрицы U0(x) определяет П(х) однозначно. Пр и этом имеем
lim П(х) = П0, (1.33)"
где П0 - унитарная диагональная матрица. Соотношения (1.30) - (1.31)
получаются из сопоставления интегральных представлений (1.23)-(1.24) и
(1.5.10), (1.5.16) части I с использованием формул
Г: (х, х) = (СГ1 (х) - I) а3, (1.34}
Г+ (х, х) =-(/ - СГ1 (х) Йо) ст3, (1.35}
которые вытекают из сравнения пределов обеих частей равенств
(1.28) - (1.29) при | Л, | ->-схэ.
Отметим, что формулы (1.34) - (1.35) согласованы с граничными условиями
(1.26) - (1.27), а соотношения (1.30) - (1.31) и дифференциальное
уравнение (1.25)-с дифференциальные
,¦320 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Hill
уравнением (1.8.15) из части I для ядер Г± (х, у) (где следует положить
U± = 0).
Сопоставляя формулы (1.19) и (1.28), получаем представление для матрицы Q
(х):
Зд = т(tm)(*дн_0. (1.36)
Из интегральных представлений (1.23) - (1.24) и формул (1.34) - (1.35)
следуют аналитические свойства столбцов Т? (х, X), 1=1, 2, решений
Йоста Т±(х, X). Столбцы ТУ (х, X) и
Т(У (х, X) аналитически продолжаются в верхнюю полуплоскость
переменной X, а столбцы Т+} (х, X) и ТУ (х, X) -в нижнюю полуплоскость со
следующими асимптотиками при | А,| ->-оо:
е".ф.тУ (х,Х) = СГ1 (х) ^ j + О ( Tir) , (1.37)
(1.38)
IM
е-'^Т{?(х, X) = Q-Hx)Q0 ( j ) + 0 ( при Im X^O и
е^Т(У (х, X) = Q-i (х) Q0 ^ j + О , (1.39)
ег^тУ (x, к) = И"1 (x) ^ ° j + О (1.40)
при Im л^О.
2. Приведенная матрица монодромии и коэффициенты перехода. Приведенная
матрица монодромии Т(X) при вещественных X определяется как отношение
решений Йоста
Т(Х) = Т:1(х,Х)Т"(х,Х) (1.41)
и может быть представлена в виде предела
Т(к) = lim ?(- х, Х)Т(х, у,Х)Е(у,Х). (1.42)
*-"+оо У ^"*оо
Матрица Т(X) унимодулярна, удовлетворяет соотношению инволюции
Т (X) = <у2Т (X) <у2 (1.43)
и обладает свойством
= ^ _ (1-44)
Юна представляется в виде
Т(Х) = (а{к) , (1.45)
а (к))
§ 1. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ МГ 321
где коэффициенты а(Х) и Ь(Х) (коэффициенты перехода непре-
рывного спектра) удовлетворяют соотношению нормировки
|а(Ь) |2+|6(7) |2=1 (1.46)
и условиям
а(0) = 1, 6(0) =0. (1.47)
Из (1.28) - (1.29) получаем формулу связи
ГМГ (а) = (а), (1.48)
откуда имеем
QT1 = Нш Ткт(Х). (1.49)
Отсюда и из (1.44) получаем, в соответствии с (1.36):
^НШ(^)и=^о, (1-50)
так что
Ъ нш(0)=0, (1.51)
а матрица П0 имеет вид
Qo =(аНШ(0) ° ) (1-52)
V 0 аНШ (0) /
и унимодулярна. Расписывая соотношение (1.48), имеем
мг... а(tm)1 (X) ,мгп^ 6НШ (7) го\
а (>-) = ншL ' Ъ (;-) = -нш J • О-53)
Таким образом, при калибровочном преобразовании в рамках быстроубывающих
граничных условий модель МГ порождает модель НШ, коэффициенты перехода
которой удовлетворяют дополнительному условию (1.51).
