Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
группе SO(n); уравнения движения модели имеют вид
v(f'+ [i^ f¦*"]+1А-<8-4>
где А и В - вещественные диагональные матрицы, не зависящие от х и t.
Матричная модель SG калибровочно эквивалентна модели главного кирального
поля на группе SO(п) (см. [1.6]).
33) Связь модифицированных и обычных уравнений главного кирального поля
была установлена в работе [1.9].
34) Геометрическая интерпретация симплектической структуры, связанной с
модифицированными скобками Пуассона (5.90)-(5.92), дана в работе [1.82].
35) Появление двух независимых расширенных алгебр токов в
модифицированной модели главного кирального поля с а=±1 было впервые
обнаружено в работе [1.93].
36) Метод задачи Римана для построения решений общего уравнения нулевой
кривизны из § 6 и термин "процедура одевания" принадлежат В. Е. Захарову
и А. Б. Шабату [1.23]. Обсуждение редукций в задаче Рима-Ha содержится в
работе [1.78]. По поводу использования процедуры одева-
§ 8. КОММЕНТАРИИ II ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
315
37) Схема построения общего локального решения уравнения нулевой
кривизны, изложенная в § 7, принадлежит И. М. Кричеверу (см. [1.30]) и
¦была первоначально применена им в работе [1.29] к решению модели
главного кирального поля и модели SG в координатах светового конуса.
38) В схеме раздевания, по существу использовалась группа GL(n) над
¦кольцом аделей поля рациональных функций на С . Полезность этого языка
при изложении общих вопросов метода обратной задачи была
проиллюстрирована в работе [1.52].
39) Задача Римана (7.5) обобщает на матричный случай процедуру Вей-
¦ерштрасса выделения главных частей функции F(x, t, Л), а задача Римана
(7.18) представляет собой матричный аналог мультипликативной проблемы
Кузена об определении функции по ее главным частям.
40) Построению интегралов движения для интегрируемых уравнений посвящена
обширная литература: [1.10], [1.121-[1.151, [1.21], [1.31], [1.431,
[1.48]-[1.51], [1.80], [1.90]-[1.91].
41) В настоящей книге мы рассматриваем только интегрируемые уравнения с
одной пространственной переменной. Метод обратной задачи применим также и
к уравнениям с двумя пространственными переменными, наиболее известным из
которых является уравнение Кадомцева - Петвиашвили
имеющее многочисленные физические приложения. Вспомогательная линейная
задача для него выглядит следующим образом:
{см. [1.16], [1.20]). По поводу уравнения Кадомцева - Петвиашвили имеется
обширная литература, из которой, помимо монографии [1.25], мы укажем
работы [1.28], [1.58], [1.62], [1.68], [1.77].
(8.5)
(8.6)
Глава II
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Здесь мы приведем полный список результатов по поводу фундаментальных
непрерывных моделей - моделей МГ и SG. Для быстроубывающих граничных
условий мы изучим отображение ?Г от начальных данных вспомогательной
линейной задачи к коэффициентам перехода и дискретному спектру и дадим
процедуру решения обратной задачи - построения отображения Мы покажем,
что к этим моделям применим г-матричный подход, и на его основании
убедимся, что отображение представляет собой каноническое преобразование
к переменным типа действие - угол. Тем самым будет показано, что модели
МГ и SG являются вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами. Мы также
дадим гамильтонову интерпретацию перехода к координатам светового конуса
в модели SG. В заключение этой главы мы объясним, что в определенном
смысле модель Л - Л является наиболее общей интегрируемой системой с
двумерным вспомогательным пространством.
§ 1. Вспомогательная линейная задача для модели МГ
Задача, упомянутая в заглавии, имеет вид (см. § 1.1)
d± = ±S(x)F, (1.1)
dx 21
где S(x)-эрмитова бесследовая матрица 2X2, удовлетворяющая условию
S2(x)=I. (1.2)
Мы будем рассматривать только быстроубывающий случай
Нш 5 (х) - о3, (1.3)
И-*(r)
где граничные значения принимаются в смысле Шварца.
В § 1.4 было показано, что модели МГ и НШ являются ка-либровочно
эквивалентными. Именно, вспомогательная линейная задача (1.1) с помощью
калибровочного преобразования
F(x, К)=Q(x)F(x, К)
(1.4)
§ 1. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ МГ 317"
приводится к виду, характерному для модели НШ;
(1.5)
где
U0(x)=d^(x)Q^(x). (1.6).
Унитарная матрица Q(jc) определяется из представления
S(x)=Q-1(^)03^(a:) (1.7)
и условия антидиагональности матрицы U0(x) в (1.6):
U0(x) = i( 0 *(Jr)>|f (1.8>
\ф(-г) 0 )
что соответствует модели НШ в быстроубывающем случае при х= -1 (см. §
1.4).
Таким образом, результаты по поводу вспомогательной линейной задачи (1.1)
можно получить из исследования задачи (1.5), данного в гл. I части I.
Однако, ввиду важности самой модели МГ, мы проведем независимое
исследование задачи
(1.1). При этом, разумеется, мы будем сравнивать соответствующие
результаты.
В этом случае рассматриваемые объекты будем снабжать индексами НШ и МГ
соответственно.
1. Матрица перехода и решения Йоста. Матрица перехода
Т(х,у,К) определяется как решение дифференциального уравнения (1.1) с
