Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
aifr (х, у) дх
= В_ (х) а3Г(tm) (х, у). (2.63)
Дифференцируя (2.42) по у и интегрируя в получившемся равенстве по
частям, приходим к уравнению
(х, у)
ду
а3-ВАх)Кнш(х + у) +
с ЭГмг (A-, z) ~нш + -а3Кнш (z ±y)dz = 0. (2.64)
Сравнивая его с (2.62), получаем
дГ^Г (х, у) нш
а3 = - В_ (х) Г_ (х, у). (2.65)
ду
Таким образом, матрица Г_г (х, у) удовлетворяет переопределенной системе
уравнений (2.63) и (2.65). Условие совместности для нее имеет вид
дГ(tm) (х, у) dB_ (Х) ^нш ^ л ^ д лл <ЗГ(tm)Ц (х, у)
336 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Сравним его с уравнением для матрицы Г.^ш (х, у)
jjpHiu (л-, у) <ЗГНШ (х, у) нш
т^ + а3 -~д о3-и0(х) Г- (х, у) = 0, (2.67)
дх ду
где
и0 (х) = Г(tm) (х, х) - азг"ш (X, х) а3 (2.68)
и имеет вид (1.8) (см. § II.8 части I, где следует положить
U" = 0). Поскольку матрица Г(tm) (я, у) не может быть вырож-
денной при всех у^х (иначе в силу инволюции Г_ = а2Г_а2 она исчезала бы
тождественно), то в результате сравнения формул
(2.66) и (2.67) приходим к дифференциальному уравнению для матрицы В-
(х):
=-B_(x)U0(x). (2.69)
dx
Свойство унитарности матрицы В-(х) следует теперь из ан-тиэрмитовости
матрицы U0(x) и условия нормировки
lim'S_ (х) = /, (2.70)
оо .
вытекающего из (2.50).
Для вывода уравнения (2.57) достаточно заметить, что из уравнений (2.63)
и (2.65) следует дифференциальное уравнение (1.25) для матрицы Г^г(х, у),
которое и обеспечивает справедливость (2.57).
Случай матрг
На этом описание двух вариантов построения отображения
Случай матрицы Г^г (х, у) рассматривается аналогично.
3. Солитонные решения. Солитонные решения модели МГ отвечают случаю
6(7) = 0. (2.71)
Для таких данных как задача Римана, так и уравнения Гель-фанда--Левитана
- Марченко сводятся к линейным алгебраическим уравнениям и решаются явно.
Приведем соответствующие результаты, основываясь на задаче Римана (2.21),
в которой теперь
G(x, 7)=/. (2.72)
Рассмотрим сначала случай п= 1, когда имеется одна пара
нулей 70, Я,о, Im70>0, и чисел у", Уо, УоФО- Решение задачи Ри-
мана дается формулами
G+ (х, К) = В (х, 7) В-1 (х, 0), (2.73)
G- (х, 7) = В (х, 0) В-1 (х, 7), (2.74)
§ 2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ МГ 337
где В(х, л) -матричный множитель Бляшке - Потапова, введенный в
§ II.2 части I:
В(х,к) = 1+ -°~_Яо Р(х), (2.75)
а Р(х) - проектор
Р (и _------!------/1 То W I2 ть (Д'l (2.76)
1 + I То (Д Г \ Yo (х) 1 I
и у0 (х) = е^у'о. Соответствующая матрица 5(х) выглядит следующим
образом:
S(x)=B(x, 0)а3В~1 (х, 0). (2.77)
¦->
Таким образом, для компонент вектора 5 (х) = {Si (х), S2(x), 53(x)) имеем
выражение
S (х) = 1 - iUjlL^lXq (*).}?_ (2.78)
Но|2(ЖТо(Д|2)2
5 м _ Sj, (х) + iS2 (х) _ Yq (х) (I *о la I To {x) Г - 1 Я0 |2 + К - Я2 |
Yo (Д |2)
2 ~ HoP (1 + lToWI2)2
(2.79)
S_ (x) = illfLllg" (x)_ = s+^x).
Рассмотрим эволюцию полученной матрицы S(x) по уравнению МГ. Для этого, в
соответствии с формулами (1.65), Yo(*) следует заменить на у0(х, i):
Yo (х, f) = e ';'0Yo (x). (2.80)
Вводя обозначения
"=21тЯ0, w = 2ReX0,
хо = Т^Т-1111 Yo 1> Фо = аг§ Yo> (2-81)
im Aq
перепишем (2.78) - (2.79) следующим образом:
S3 {х, t) = 1 , (2.82)
(u2 + v2) ch2 (х - vt - д-р) j
.( их (иг-иг) \
S+(x, t)=-------------------------- х
(и2 + и2) ch2 (x-vt- д-0)
х ^- и sh (х - vt - х0)| + iv ch j-^- (x - vt - х0) S- (х, t) = S+ (х,
t).
(2.83)
338 ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
->
Эти формулы показывают, что решение S(x, t) представляет собой уединенную
волну, локализованную вдоль направления
x(t)=x0 + vt, (2.84)
центр которой движется с постоянной скоростью v. Согласно определению,
данному в § II.5 части I, такое решение следует назы-
->
вать солитоном модели МГ. Солитон S(x, t) характеризуется четырьмя
вещественными параметрами: скоростью V, координатой начального центра
инерции х0, начальной фазой ф0 и амплитудой А компоненты 53(х, t)
A = ' ggj
и2 + V2
->
Помимо поступательного движения, решение 5 (х, t) осциллирует по х и t с
частотами п/2 и (иг ¦-п2)/4 соответственно.
Перейдем теперь к общему случаю п пар нулей Ял Ks, lm ^>0, и чисел уд уд
Vj- =?^= 0, / = 1, ..., п. Решение задачи Римана имеет вид
G+ (*, Я) = П(х, Я) П-1 (х, 0), (2.86)
G_(jk, Я) =Щх, 0)П_|(х, Я), (2.87)
где П(х, Я) -упорядоченное произведение множителей Бляшке - Потапова:
П
П (х, Я) = Г| В, (х, Я), (2.88)
/=i_
В-, (а, Я) = / + -Р;(х), (2.89)
Я -Я,-
а проекторы Pj(x) однозначно определяются по набору чисел
yi(x) = ea'xyi, 1=1 п. Процедура их вычисления была
приведена в § II.2 и II.5 части I.
Матрица S(x) дается формулой
5(х)=П(х, ОЭсгзП-Ч*, 0), (2.90)
где матрица П(х, 0) унитарна и удовлетворяет условию
detП (х, 0) = ю0 = Т"| (2.91)
/=1 '*-/
(см. § II.5 части I). Вводя обозначение
П (х, 0) -= (А (х) В (дг)) , (2.92)
VC (х) D(x)j'
->
для компонент вектора S(x) имеем
5з = Юо(Я1Г)+5С), S+ = a"CD, =-<о0АВ. (2.93)
§ 2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ МГ 339
В отличие от модели НШ, мы не будем приводить здесь более явные формулы
