Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 117

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 180 >> Следующая

4 L 1п
где 1 л
л;
Zn (х, у) = ^о2 (eVKx'-ow^ (х') - W"+1 (х')) dx'. (4.83)
у
Отметим, что выбор (4.80) матрицы W0(x) согласован со слагаемым т^~ о3
в формуле (4.82).
В силу инволюции (4.7) матрицы \Vn(x) и Zn(x, у) имеют
вид
Wn{x)=-.( 0 (4-84)
V wn ix) 0 j
И
Zn(x,y) = (Zn{x,y) _° }, (4.85)
V 0 -Zn (x, y)j
а соотношения (4.80) -(4.83) переписываются следующим образом:
w0(x)=i, (4.86)
2 dwn ' О po (x)
, ч 2 ишп'л) pU \X) / \ i * Vl / \ / \
%l W = - - -iL-LjL wn W + - 2 Wk (x) Wn+1-k (x)-
im dx m 2
k=i
_ 1 wk (x) (x) - | * ЬПЛУ (4.87)
k=0
X
Zn (x, y) - ^ j (wn+1 (*') - erW^Wn-! (x')) dx'. (4.88)
У
Для получения асимптотического разложения приведенной матрицы монодромии
Т{Х) перейдем к пределам при z/->-оо, *->-+оо в соответствии с
определением (4.49). Учитывая, что матрицы Wn(x), rt^l, исчезают при |*|-
->-оо, мы получаем представление
Т(х)=ер^+0( |Л|-), (4.89)
где
г (Ч_fw). (4.90)
а
р (X) = lim (V г" (л \у) -1. (х - у)\. (4.91)
\ ^ Хп АХ / v
У-У-ОО П-1 /
358
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
Подчеркнем, что диагональность матрицы РЩ согласована с тем, что Ь(%)
является функцией типа Шварца.
Из формул (4.86) -(4.88) получаем, что р{к) допускает асимптотическое
разложение
В силу условия trP(X)=0, вытекающего из унимодулярности матрицы Т(К),
величины /" являются вещественными.
Сравнивая формулы (4.52) и (4.89) -(4.90), (4.92), получаем искомое
разложение при |A,|-voo:
определяющее первую серию локальных интегралов движения модели SG.
Для получения асимптотического разложения при %-*-0 достаточно
воспользоваться свойством (4.9) (сравни с п. 1). В результате получаем
В частности, для импульса Р и гамильтониана Н модели SG имеем выражения
(4.92)
где
оо
/l = _?l ({(Я(*) + ^ {х)У +^-(1-cosNW))^(4.93)
и для произвольного п> 1
оо
In - '-7- Г (tt"n+1 (де) - егс&гл wn-i (*)) dx. (4.94)
- 00
--- Л
п-1
(4.95)
оо
In а (К) = i 2
(4.96)
где
/0 = n:Q(mod 2я),
(4.97)
и
/_"(jt, ф) = (- 1)"/"(я, -ф), п= 1, 2, ... (4.98)
(4.99)
§ 5. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ SG 359
И, наконец, сравнивая асимптотические разложения (4.95) -
(4.96) с дисперсионным соотношением (4.64), получаем тождества следов
модели SG:
sign I h =
п V _ ;1
= J_ fln(l-|b{W)V-'dk+ 2 1L~-, 7 = -oo........................
2t Jt ,) ' l L
- OO J-l
(4.101)
Из условий (4.54) следует, что при четных I выражения /, исчезают, так
что соответствующие плотности в (4.94) являются полными производными от
шварцевских функций. Поэтому окончательно тождества следов принимают вид
оо
sign (2т + 1) I.;m+1 = j" In (1 - | b (A) 12)X2mdX -
0
/ offln ni 9 nt+n2 j ....
' ' 2"Г+-^ У '' ' ¦ -"=-"=..."•
2m -j- 1 'H 2m +1
j~l k=nt+l
(4.102)
Исследование вспомогательной линейной задачи модели SG и описание
отображения ?Г иа этом заканчивается.
§ 5. Обратная задача для модели SG
Здесь мы опишем отображение ?Г-1, т. е. дадим решение обратной
задачи: укажем процедуру восстановления функций
п(х) и ф(а) по коэффициентам перехода и дискретному спект-
ру. Мы приведем два подхода, основанные на матричной задаче Римана и
формализме Гельфанда - Левитана-Марченко. В конце параграфа мы опишем
динамику солитонов.
1. Задача Римана. В ее основе лежит формула связи решений Поста при
вещественных А =5^0
Т-(х,Х) = Т+(х,Х)Т(Х), (5.1)
которая переписывается в виде
Г_(х, A)=F+(*, A)G(A), (5.2)
где матрицы F±(x, А) составлены из столбцов решений Т±(х, А) по формулам
F+ (х, А) = -(Т(У (х, А), Т12)(х, А)), (5.3)
а (А)
F_(x,l)=(T{+1] (х,1), Т{-\х,1)), (5.4)
360
ГЛ. II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
а
(5.5)
Матрицы F+1 (х, А,) и /7_(х, А) допускают аналитическое продолжение в
полуплоскости 1тА>0 и 1тХ<0 соответственно, однако в точках Х=0 и Х=оо
они имеют существенные особенности (см. п. 1 § 4).
Вводя матрицы
которые уже имеют конечные пределы при А-"-0 и |А|-"-оо в соответствующих
полуплоскостях, запишем соотношение (5.2) в виде
Соотношение (5.8) лежит в основе задачи Римана для модели SG. Прежде чем
перейти к ее формулировке, перечислим свойства матриц G(x, А) и G±(x, X),
вытекающие из результатов § 4.
I, Матрица G(x, X) эрмитова
где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
II. Матрицы G+(x, X) и G-(x, X) допускают аналитическое продолжение в
верхнюю и нижнюю полуплоскости соответствен-
G+(x,X) = e 1 F+ (х, X)
(5.6)
и
(5.7)
G+(x, X)G-(x, X) - G(x, X)
(5.8)
(5.9)
G'(x, X) = G(x, X)
(5.10)
удовлетворяет инволюции
G(x, - X) = G (x, X)
(5.11)
и условиям
л =1,2............... (5.12)
17*|->co
lim G(x, X) = /,
(5.13)
§ 5. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ SG 361
но и удовлетворяют инволюциям
G\(x,X) = G_{x, X), (5.14)
G+(x,-X)=^iG+(x,X)o 1, (5.15)
G_ (х, -X) ¦= - ia1G_ (х, а). (5.16)
III. В своих областях аналитичности матрицы G±(x, X) имеют асимптотики
G+ (х, X) = Г ЧГ1 (х) (/ + О ) j , (5.17)
G_ frb) = Q (*)"(/ +О (5.18)
при | X | ->-oo и
G+ (x, X) = (-а^Г'О (x) (/ + О (| X1)), (5.19)
G_ (x, X) = Q"1 (x) 8 (- o3)Q (I + О (| X I)) (5.20)
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed