Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Исключим из всей совокупности точек, принадлежащих промежутку [а, Ь], все
точки промежутков
[a, -6, а, + 6], [а2 -6, а2 +6], ., [аш - Ь, ат + 6],
где 6 есть некоторое наперед заданное достаточно малое число. Во всех
точках оставшихся промежутков
[a, a, -6], [а, + 6, а2 -6] [аш +6,6] (57)
функция р(х) нигде не обращается в нуль и в каждом из них имеет
определенный минимум не равный нулю. Возьмем какой-либо из этих
промежутков
[а*+6, ак+, -в]. (58)
*) Под (ихподразумеваем две какие-либо точки промежутка |а, Ь].
191
Если условимся считать, что
Оо +6=а, am+, -S = Ь,
то, давая в интервале (S8) числу к все значения от 0 до т, исчерпаем все
по порядку интервалы (S7). Обозначим через рк min р(х) в промежутке (58),
через Р0 - наименьшее из всех значений рк (к = 0,1,2......т).
Предположим, что (их суть две точки, принадлежащие промежутку (S8). Можем
писать
f pl(x)dx= f p(x)p2"(x)dx<
f f P(x)
< - / p(x)p$(x)dx< -
Pk f Pk
Кроме того, очевидце,
J p^{x)dx<S^W)<M2.
Неравенство (S6), примененное к любой паре точек (их, принадлежащих
промежутку (58), дает
pS($)<pS(*) + --/==? \/ sn (Л-
VpT
Умножив это неравенство на p(x)dx и проинтегрировав результат по всему
промежутку (58), получим
"*+1 - 4 Л*+1 - 4
р?($) / p(x)dx< f P(x)P2n(x)dx +
0t? + b 01 к + б
. 2М ___________. лк+1 ~4
+ - /-;• \/Х(/') / p(x)dx.
\Рк ак+6
Отсюда
pi(()<-^ +-^=Г>ЩД
К V"*
ак+1 ~ 4
где положено К = / p(x)dx. Но, очевидно, К (а*+1 - а*) >р*а,
ак + 4
где а означает длину наименьшего из промежутков [а*, а*+1 ] не равно по
предположению нулю ни при каком к. Поэтому для любой точки ( промежутка
(58)
S"(f) 2М _________,
PSU) < -- + -
"Р* VP*
и, следовательно,
rftt) < ~ ¦ -^r (59)
аР0 V Ро
192
Это неравенство справедливо для любой точки ? любого из промежутков (57),
т.е. для любой точки совокупности Е точек, образуемой промежутками (57),
общая длина которых равна Ь - а - ЪпЬ. Предыдущее неравенство при помощи
(47) приводится к такому:
N f N \ L2
р*(?) < --= -+2А/ =- , (59.)
л>/Л> \ па V Ро / я
где под L1. можно, очевидно, подразумевать, положительное число, не
зависящее от л, ибо
N I N \ N / N \
г - + 2М) < -- I---- +2М
y/Pj \ nayfP^ } V7\T \ as/TJ )
при всяком л > 1.
Неравенство (59,) дает
lp"(?)|<L/V^T (60)
для всякой точки ? совокупности Е. Отсюда заключаем, что ряд ? AkVk(x),
Ак= J p(x)f(x)Vk(x)dx,
к = I а
сходится равномерно во всех точках совокупности Е для всех
фундаментальных функций рассматриваемого нами типа, коль скоро функция
Дх) удовлетворяет неравенству Коши и соответствующим условиям п. 24.
Сумма этого ряда равна Дх) в любой точке х совокупности Е, и погрешность
приближенного вычисления этой функции при помощи суммы
п ^
2 AkVk (х) для всех точек совокупности Е численно меньше, чем L/\Jn.
k= 1
26. Для задач математической физики наибольший интерес представляет,
как упоминалось выше, случай, когда р(х) не обращается в нуль нк в одной
из точек промежутка [а, 6]. В этом случае неравенство (59) справедливо
для любой точки промежутка [а, 6], причем под Р0 следует подразумевать
наименьшее значение р(х) в этом промежутке. Неравенство
(60),следовательно, имеет место для любой точки промежутка [а,Ь] и
приводит к следующей теореме:
Всякая функция f(x), удовлетворяющая неравенству Коши и соответствующим
предельным условиям п. 24, разлагается во всем промежутке [а, 6] в
равномерно сходящийся ряд вида
Дх)= ? AkVk(x),
k= I
причем численная величина погрешности приближенного вычисления функции
f(x) при помощи суммы 2 AkVk (х) не превосходит числа Lj\fn,ede
k= I
L есть конечное положительное число, не зависящее от л.
Эта теорема справедлива для всех фундаментальных функций п. 24, все
характеристические числа которых неотрицательны, а функция р(х) не
обращается в нуль ни в одной из точек промежутка [а,Ь\.
193
Таким образом, примененный в этой главе метод не только дает теорему о
разложении заданной функции /(дс) в ряд Фурье, расположенный по
фундаментальным функциям с неотрицательными характеристическими числами,
но и высший предел модуля остаточного члена этого разложения, порядок
которого оказывается не ниже 1 /\/п.
27. Если оставить в стороне вопрос об определении высшего предела
погрешности, то возможность разложения произвольных функций в ряды по
функциям Vk{x), рассматриваемый в этой главе, может быть установлена при
более общих предположениях относительно функций р(дс).
В п. 5 гл. IX было показано, что всякая фундаментальная функция Ук(х )
удовлетворяет следующему интегральному уравнению:
У к (х) = \к S рШ(х. ?)и* (?) </?, (60,)
а
где ф(х, ?) есть функция от дс и ?, определяемая формулами (38'), (38") и
(38'") п. 13 гл. V.
Будем рассматривать ф(х, ?) как функцию переменной ? в промежутке [а, Ь\.
Нетрудно убедиться, что ф(х, ?) остается непрерывной относительно ? при
всяком значении х, взятом в промежутке \а,Ь\, и имеет в этом промежутке
интегрируемую производную по ?, причем
/ ф2(х, ?)<*?</!, J *t'J(jc. ?)</?<Л,
