Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 72

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 159 >> Следующая

< --------, ¦ .
\ЩГ
181
Но мы уже заметили, что функция (23) удовлетворяет л неравенствам (41)
(п. 12 гл. IX), где Vk(x) {к = 1, 2, ..., и) суть по порядку взятые
функции из их полной системы. Поэтому, на основании теоремы п. 36 и
неравенства (124) п. 39 гл. V
р > Х"_| >т\п2 (см. п.- 3 предыдущей главы). Следовательно,
\/W I
\/5"(/)' т\пг
Сопоставляя зто неравенство в (221), получаем окончательно М2 N2
< -ГГ - -Г . (24)
То и л
где N2 есть конечное число, независящее от я.
Таким образом, квадратичная погрешность при приближенном вычислении
всякой функции Дх), подчиненной единственному условию удовлетворять
неравенству Коши, при помдщи формулы (3); убывает обратно
пропорциональному квадрату числа п членов суммы
I AkVk(x),
k= I
коль скоро фундаментальные функции Vk(x) принадлежат рассматриваемой нами
группе функций первого класса (см. п. 10) .
12. Неравенство (24) показывает также, что всякая полная система
фундаментальных функций первого класса, принадлежащая к только что
упомянутой группе, есть система замкнутая по отношению ко всякой функции
Дх), подчиненной условию Коши, а следовательно, и подавно замкнута по
отношению ко всякой функции, имеющей первую производную, интегрируемую в
промежутке [а, 6]. Отсюда на основании общей теоремы п. 9 гл. 11 выводим
теорему:
Всякая полная система фундаментальных функций первого класса, когда
постоянные а, 0, у удовлетворяют неравенствам (11), а функции р(х) и q(x)
остаются обе неотрицательными в промехсутке (а, 6], есть система
абсолютно замкнутая.
Эта теорема Представляет собой, очевидно, частный случай общей теоремы,
доказанной в п. 9 предыдущей главы, но метод доказательства, изложенный
здесь, имеет то преимущество, что не только устанавливает замкнутость
рассматриваемых нами в этой главе фундаментальных функций, но дает в то
же время (для случая, когда Дх) удовлетворяет условию Коши) и высший
предел квадратичной -погрешности, характеризующий, так сказать, порядок
замкнутости, за который можно принять величину 1/л2.
Этот результат, важный для дальнейших исследований, не может быть получен
при помощи метода, изложенного в предыдущей главе, который устанавливает
только, что S" (f) стремится к нулю при беспредельном возрастании значка
л, но не определяет порядка малости этой величины по отношению к л.
182
13. Применим тот же прием к фундаментальным функциям второго класса,
определяемым предельными условиями вида
Vk(b) = pVk(d),
где, напомним, p есть конечная, не равная нулю постоянная. При помощи
этих соотношений выводим из (8) (п. 3)
( /(Ь) Л Л .
К"=рт -2-- 2 AkVk(a) + 2 A2kV2k(a) +
[ О k=\ k= I
+ 2SA"A" H",(fl)Kn(j)| + 2^/(д) - l^L^^Akv;(a). (26)
Предположим, что функция Дх) удовлетворяет условию т = Р№- (27)
Заметив, что
- 2Дд) 2 AkVk(a) + 2 A2kV2k(a) +
k~I *=i
+ 22 AnAm Vm (a)Vn(a) =
= ( 2 A k Vk (л) - f(a))2 - f2 (л) = p2n (л) - f2 (л),
k= i
и приняв в расчет (27), выводим из (26)
*п = Рт(Р2п (а) - /2 (а)).
При этом равенство (7) (п. 3) обращается в такое:
^,)(Л= f f'2(x)dx + f q(x) f2 (x)dx -a a
- f Q(x) Pn(x)dx + рт(р2 (a) - f2(a)) - 2 A*/l*-
a k= 1
Положив
T"=Sbty(f)+ f q(x)p2(x)dx - prpl (a), (28)
a
приводим предыдущее равенство к виду
Тп = ff'2(x)dx+ f q(x)f2(x)dx - prf2(d)- 2 A*/l*- (29)
a a k= I
Допустим, ЧТО
рт < 0. (30)
18?
В таком случае, как показывает равенство (28),
Т" >0*).
Положим
о < / fn (дг) dx + fq(дг)/2 (дг) dx - prf2 (а) = М2 (30,)
а а
Очевидно, М2 есть конечное положительное число, не зависящее от л. При
сделашшх предположениях равенство (29) приводит к неравенству
2 А*/Ц <М2,
к= 1
так как все числа А* положительны.
П
Это неравенство показывает, что ряд 2 А*/4* сходится для всякой
*= 1
функции /(х), удовлетворяющей условию Коши, коль скоро числа ри т
уравнений (25) подчинены неравенству
рт <0, (30)
а функция /(х) - предельному условию вида
№-pf{a) = 0. (31)
14. Будем теперь искать интеграл уравнения (13) в виде ряда (132),
заменив предельные условия (13,) п. 8 следующими:
V '(b) = р К(а), К '(b) = ~ V Ха) + rV(a).
Для определения функции u0(x) получим в рассматриваемом случае, то же
уравнение (14) п. 8, а предельные условия (15) заменятся такими:
Vo(b) = pv0(a), v'0(b)= i v'0(a) + Tv0(a).
При этом из уравнения (16) выводим
0 < f vо2 (дг) dx - prvo (а) + / q (дг) vl (дг) dx =
fl fl
= I P(x)v0(x)p"(x)dx< V'li'o' V5"(/)-. (32)
a
С другой стороны, формула (18/, справедливая для всяких фундаментальных
функций, приводится в рассматриваемом теперь случае к виду **)
S"(f) = ~ PTP"(a)v0(a) +
+ ./ v'0(x)p'n(x)dx+ / q(x)vQ(x)pn(x)dx. а а
*) Функция q(х) предполагается неотрицательной в промежутке \а, й).
**) Так как функция р"(дг) удовлетворяет, в силу (25) и (31), условию
рп(Ь) -
- рр"(в) = 0.
184
Отсюда при условии (30) выводим
Sn(f) < (~ртр?(а)+ S Pn(x)dx+ f q(x)p%(x)dx )Х
а а
X (- prvo(a) + / о? (*) dx + f q(x) vl(a) dx ).
a a
Заметив, что, в силу (28), (29) и (30t),
-ртрп(") + / р'п (*)dx + / <Дх)р*(дг)dx < М2,
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed