Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
гл. IX (относящейся специально к фундаментальным функциям Vk (х)), при
помощи одной общей теоремы, справедливой для какой угодно абсолютно
замкнутой системы ортогональных и нормальных функций.
Пусть
*i(*). <р2(*).....<р*(х), ... (68)
есть такая система; пусть р(х)>0 есть ее характеристическая функция, так
что ь
f p(x)<fim (х) <fi"(x)dx = 0. m Ф n,
a
f P(x)*l(x)dx = I. a
Пусть Дх) - какая-либо функция, интегрируемая в промежутке [а,Ь |.
Положив
Дх) = 2 Ak<pk(x) + p"(x), Ак = /p(x)fix)vk(x)(lx, (69)
*= ! а
будем иметь, в силу абсолютной замкнутости системы (68),
S"(f)= J*p(x)p$(x)dx<e2 при //>п0¦ (70)
а
Пусть @(х) есть какая угодно другая функция, интегрируемая в промежутке
[а, Ь\. Умножив (69) на р(х) 9(х) и интегрируя результат от а до Ь,
197
получим
/р(х)в(х)( Дх)- ? Ak*pk(x))dx = /р(х)в(х)р"(х)</х, (71)
а * = 1 а
| / р(х)в(х)р"(х)</х | <
а
< чДЛл1 /7 р(х)в2(х)с?с < Ае при п>п0, (711)
а
где
А2 = f р(х)02(х)</х
а
есть конечное число, не зависящее от л.
Предположим, что функция Дх) непрерывна в промежутке [а, Ь\ и та-
кова, что ряд
? Ак*к(х) (72)
*= I
сходится равномерно в некотором промежутке [а, 0], лежащем внутри \а, Ь\,
и представляет собой некоторую непрерывную функцию в зтом промежутке,
которую обозначим через F(x), так что
F(x)= ? Акук(х)* ? Ak^>k(x)+R"(x), (73)
*=I *= I
причем в силу равномерной сходимости ряда (79) будем иметь
1/?"(х)| < е при п>п0, о<х<0. (74)
Предположим, что
в(х) = 0 при а<х<а и 0<х<6, (75)
а в промежутке [а, 0] принимает какие угодно значения. При помощи (73) и
(75) выведем из (71) и (711)
0
I / р(х) 0(х) (Дх) - F(x)) dx I <
а
0
< I / р(х)в(х)/?"(х)</х I +Ае.
а
Но, в силу (74),
( / p(x)9(x)R"(x)dxj <
" 0
< А2 f p(x)R2(x)dx <cA2Q2e2 при п>п0-
а
198
Следовательно,
| / р(х)в(х)(Дх) - F(x))dx | <
a
</l(C + l)e = e' при n>n0, какова бы ни была функция 6(х), интегрируемая
в промежутке [а, 0]. Положим
(c)(*)= f(x)-F(x).
Получим из (76)
/ р(х) ( Дх) - F(x))2dx = О,
а
откуда в силу непрерывности функций Дх) и F(x) выводим /(x) = F(x)= 2
Ак<рк(х)
к = 1
для всех точек х промежутка [а, 0].
Таким образом, приходим к следующей теореме:
Для какой угодно абсолюте замкнуты системы ортогональных и нормальных в
промежутке [а, 6] функций yk (х) (А: = 1, 2, 3, ...) с характеристической
функцией р(х), неотрицательной в [а,Ь\,в любом промежутке [а, Р\, лежащем
внутри [а, Ь], имеет мест (равномерное) разложение вида
Дх)= 2 Ak<pk(x), Ak = 5 p(x)f(x)<pk(x)dx, k-1 a
oo
если непрерывная функция Дх) такова, что ряд 2 Akyk(х) сходится рав-
* = 1
номерно в промежутке [а, 0].
32. Эта теорема, непосредственно вытекающая из теории замкнутости,
значительно упрощает решение многих вопросов о разложении непрерывных
функций в ряды типа Фурье, расположенные по функциям крк (х) данного
вида, образующим ортогональную и абсолютно замкнутую систему.
Пользуясь этой теоремой, нет надобности производить суммирование данного
ряда, а достаточно лишь доказать его равномерную сходимость, чтобы сейчас
же заключить отсюда, что сумма его равна действительно данной функции Дх)
для всех значений х, где ряд, о котором идет речь, сходится равномерно.
Примером применения указанной теоремы может служить и теорема,
установленная в п. 30. В самом деле, выше было установлено, что все
фундаментальные функции Ук(х) образуют абсолютно замкнутую систему. С
другой стороны, в конце п. 29 доказано, что для всех фундаментальных
функций, рассматриваемых в этой главе, ряд (а) сходится равномерно во
всем промежутке [а, 6], коль скоро функция Дх) удовлетворяет условиям п.
30 (или 24).
Из сопоставления этих предложений и только что доказанной общей теоремы
сейчас же и выводится теорема, приведенная в п. 30.
199
33. Вопрос о разложении произвольных функций в ряды типа Фурье по
фундаментальным функциям Ук (х) можно считать разрешенным в общем виде
при достаточно общих предположениях относительно разлагаемой функции
/(х).
Единственным ограничением, как видно из предыдущего, является требование,
что функция /(х) удовлетворяла неравенству Коши, которое можно считать
выполняющимся в большинстве практических приложений (когда, например,
кривая задается чертежом).
Весьма важным преимуществом изложенных выше методов является и та
общность условий относительно функций р(х) и q(х), при которых решается
задача. В большинстве случаев зти функции, имеющие определенный
физический смысл, задаются эмпирически и в большинстве случаев
удовлетворяют лишь условию непрерывности, т.е. тому единственному условию
*), которого и требует изложенный выше анализ.
34. Первые попытки решения задачи (В) в 1837 г. (Journal dc Liouville,
T.J, II) для частного случая фундаментальных функций первого класса,
когда
а = 0, 0<О, у>0,
принадлежат Лиувиллю. Но прием Лиувилля оказался неудовлетворительным и
задача оставалась нерешенной в течение 60 лет.'
В 1896 г. в статье ''Задача об охлаждении неоднородного твердого стержня"
(Сообщ. Харьк. Общ.) я дал ее решение, развив соответствующим образом
